Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Пример 1. Вычислить
∫
−
dx
x
x
2
3
cos4
sin
.
Решение. Подынтегральная функция обладает симметрией типа
)cos,(sin)cos,sin(
x
x
R
x
x
R
−
=
−
,
что указывает на подстановку
x
t
cos
=
.
Учитывая, равенства
x
d
x
d
t
sin−= и
dttxdxxxdxxxdx )1(sin)cos1(sinsinsin
2223
−−=−== ,
получаем:
.|
2cos
2cos
|ln
4
3
cos|
2
2
|ln
4
3
4
3)
4
3
1(
4
1
cos4
sin
222
2
2
3
C
x
x
xC
t
t
t
t
dt
tdt
t
dt
t
t
dx
x
x
+
−
+
+−=+
+
+−=
−
+−=
−
+−=
−
−
−=
−
∫∫∫∫
Пример 2. Вычислить
∫
+
dx
x
xx
1si
n
3
cossin
.
Решение. Здесь мы имеем дело со Случаем 2.
Следовательно, заведомо хорошей подстановкой является
x
t
sin= , которая
влечет за собой
x
d
x
d
t
cos
и, таким образом,
.|)1sin3|ln
3
1
(sin
3
1
|)13|ln
3
1
(
3
1
)
13
1
1(
3
1
131sin3
cossin
CxxCtt
dt
t
dt
t
t
dx
x
xx
++−=++−=
+
−=
+
=
+
∫∫∫
Пример 3. Вычислить
∫
5sin4cossin2
2
x
x
x
dx
.
Решение. Подынтегральная функция остается неизменной при
одновременном изменении знаков перед
x
sin и
x
cos , что соответствует
Случаю 3.
Преобразуем подынтегральное выражение:
.
cos5 tg2tg
1
cos5cossin2sin
)cos(sin5sin4cossin25sin4cossin2
2222
2222
x
dx
xxxxxx
dx
xxxxx
dx
xxx
dx
⋅
++
=
++
=
++−
=
+−
Сделаем подстановку
x
t
tg=
и проинтегрируем полученное рациональное
выражение:
.
2
1 tg
arctg
2
1
2
1
arctg
2
1
4)1(
)1(
525sin4cossin2
2
22
C
x
C
t
t
td
tt
dt
xxx
dx
+
+
=+
+
=
++
+
=
++
=
+−
∫
∫∫
81

Страницы