Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.7.6. Другие тригонометрические подстановки
Универсальная тригонометрическая подстановка
2
tg
x
t =
формально решает
проблему интегрирования любых рациональных выражений
)cos,(sin
x
x
R
.
Однако существует несколько частных случаев, когда применение других
подстановок преобразует
в интегралы от более простых
рациональных функций
∫
dxxxR )cos,(sin
)(
t
f
, что заметно понижает трудоемкость
вычислений. Рассмотрим такие случаи.
1.
Если
)cos,(sin)cos,sin(
x
x
R
x
x
R
−
=
−
,
то
∫
dxxxR )cos,(sin ⇒
∫
dttf )(
подстановкой
x
t
cos=
.
2.
Если
)cos,(sin)cos,(sin
x
x
R
x
x
R
−
=
−
,
то
∫
dxxxR )cos,(sin ⇒
∫
dttf )(
подстановкой
x
t
sin= .
3.
Если
)cos,(sin)cos,sin(
x
x
R
x
x
R
=
−
−
,
то
∫
dxxxR )cos,(sin ⇒
∫
dttf )(
подстановкой
x
t
tg=
(или
x
c
t
tg=
).
Доказательство.
Пусть
)cos,(sin
x
x
R
является нечетной функцией относительно
x
sin ,
)cos,(sin)cos,sin(
x
x
R
x
x
R
−
=
−
.
Тогда
)cos,(sinsin
si
)cos,(sin
sin)cos,(sin
1
xxRx
x
xxR
xxxR ⋅==
, (57)
где
x
xxR
xxR
si
)cos,(sin
)cos,(sin
1
=
– рациональная четная функция
относительно
x
sin . Следовательно, содержит только четные степени
синусов и поэтому представляет собой некоторую рациональную функцию
относительно
)(
1
xR
x
cos :
)(cos)cos,cos1()cos,(sin)cos,(sin
2
2
2
21
tfxxRxxRxxR =−==
. (58)
Учитывая (57) и (58) и выполнив подстановку
t
x
=
cos
, получаем
dttfdxxxfdxxxR
∫
∫
∫
== )(sin)(cos)cos,(sin
,
что и требовалось доказать.
Доказательство утверждений, сформулированных в пунктах 2 и 3,
предоставляется читателю.
80

Страницы