Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Выразим дифференциал через dx d
t
:
2
tg
x
t =
⇒
t
x
arctg
2
=
⇒
2
1
2
t
dt
dx
+
= . (56)
Следовательно,
∫∫∫
=
+
+
−
+
= dttf
t
dt
t
t
t
t
RdxxxR )(
1
2
)
1
1
,
1
2
()cos,(sin
22
2
2
,
где
22
2
2
1
2
)
1
1
,
1
2
()(
t
t
t
t
t
Rtf
++
−
+
=
– некоторая рациональная функция.
Пример 1. Найти
∫
x
dx
si
n
, применив универсальную тригонометрическую
подстановку
2
tg
x
t =
.
Решение. Используя формулы (54) и (56), получаем:
C
x
Ct
t
dt
t
dt
t
t
x
dx
+=+==
+
+
=
∫∫∫
|
2
tg|ln||ln
)1(
2
1
2
1
sin
2
2
.
Пример 2. Вычислить
∫
−
+
x
x
dx
si
n
cos2
.
Решение: Пусть
t
x
=
2
tg
. Тогда с учетом формул (54) – (56), получаем
.
)3)(1(
2
32
2
21)1(2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
sincos2
222
2
22
2
∫∫∫
∫∫
−+
=
+−
=
−−++
=
+
⋅
+
−
+
−
+
=
−+
tt
dt
tt
dt
ttt
dt
t
dt
t
t
t
t
xx
dx
Разлагаем рациональную функцию на простые дроби и интегрируем:
.|
1
3
|ln
2
1
|)1|ln|3|(ln
2
1
)
13
(
2
1
)3)(1(
2
C
t
t
Ctt
t
dt
t
dt
tt
dt
+
+
−
=++−−=
+
−
−
=
−+
∫∫∫
Делаем обратную подстановку
2
tg
x
t =
:
C
x
x
xx
dx
+
+
−
=
−+
∫
|
1
2
tg
3
2
tg
|ln
2
1
sincos2
.
79

Страницы