ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3.7.5. Универсальная тригонометрическая подстановка
2
tg
x
t =
Рассмотрим рациональную функцию
)cos,(sin
)cos,(sin
)cos,(sin
xxQ
xxP
xxR =
, где
)cos,(sin
x
x
P
и
)cos,(sin
x
x
Q
– многочлены, содержащие только целые
степени синуса и косинуса.
Такими функциями, в частности, являются выражения
x
x
x
sin2cos47
sin32
2
+−
−
,
x
5
cos31
1
+
,
x
x
x
sincos52
cos
3
+
,
тогда как выражение
xcos1
1
+
не относится к их числу.
Теорема. Пусть
)cos,(sin
x
x
R
– рациональная функция относительно синуса
и косинуса. Тогда подстановка
2
tg
x
t =
преобразует
∫
dxxxR )cos,(sin
в
интеграл от рациональной функции
)(
t
f
,
∫
∫
= dttfdxxxR )()cos,(sin
.
Замечание. Интегрирование рациональной функции не выходит за рамки
применения соответствующей методики. Следовательно, теорема
утверждает, что проблема интегрирования выражения
)cos,(sin
x
x
R
сводится к ранее изученной.
Доказательство. Пусть
2
tg
x
t =
. Чтобы выразить
x
sin и
x
cos через
переменную
t
, воспользуемся тригонометрическими тождествами
2
cos
2
sin2sin
xx
x =
, (51)
2
sin
2
coscos
22
xx
x −=
, (52)
1
2
sin
2
cos
22
=+
xx
. (53)
Тогда
2
222
1
2
2
tg1
2
tg2
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin2
sin
t
t
x
x
xx
xx
x
+
=
+
=
+
= , (54)
2
2
2
2
22
22
1
1
)
2
(tg1
)
2
(tg1
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
cos
t
t
x
x
xx
xx
x
+
−
=
+
−
=
+
−
= . (55)
78
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- …
- следующая ›
- последняя »
