ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3.7.3. Интегралы вида
∫
dxx
n
tg
,
∫
dxx
n
ctg
При и 2 интегралы берутся элементарно, например, 1=n =n
Cx
x
xd
dx
x
x
dxx +−=−==
∫∫∫
|cos|ln
cos
)(cos
cos
sin
tg
, (44)
Cxxdx
x
dx
dx
x
x
xdx +−=−=
−
=
∫∫∫∫
tg
coscos
cos1
tg
22
2
2
. (45)
Если
, то нужно предварительно понизить степень, используя
тригонометрическое тождество
K,3,2=n
1
cos
1
tg
2
2
−=
x
x .
Тогда
dxx
x
dx
xdx
x
xdxx
nnnn
∫∫∫∫
−−−
−=−=
2
2
2
2
2
tg
cos
tg)1
cos
1
(tgtg ,
где
C
n
x
xxd
x
dx
x
n
nn
+
−
==
−
−−
∫∫
1
tg
) tg(tg
cos
tg
1
2
2
2
.
Следовательно,
∫∫
−
−
−
−
= xdx
n
x
xdx
n
n
n 2
1
tg
1
tg
tg
. (46)
Проблема интегрирования
сведена к проблеме интегрирования .
Повторным применением формулы (46) можно понизить степень тангенса
до 1 или 2.
x
n
tg x
n 2
tg
−
Аналогично,
)1
sin
1
(ctgctgctgctg
2
222
−==
−−
x
xxxx
nnn
⇒
dxx
x
dx
xdxx
nnn
∫∫∫
−−
−=
2
2
2
ctg
sin
ctgctg ⇒
dxx
n
x
dxx
n
n
n
∫∫
−
−
−
−
−=
2
1
ctg
1
ctg
ctg
. (47)
В частности,
,|sin|ln
2
ctg
sin
cos
2
ctg
ctg
2
ctg
ctg
22
2
3
Cx
x
Cdx
x
xx
dxx
x
dxx
+−−=+−−=
−−=
∫
∫∫
. tgtg
3
1
) tg(tg
3
1
tgtg
3
1
tg
33
234
CxxxCxxx
xdxxxdx
++−=+−−=
−=
∫∫
76
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- …
- следующая ›
- последняя »
