ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3.7.4. Интегралы вида
∫
bxdxaxcossin
,
∫
bxdxaxsinsin
,
∫
bxdxaxcoscos
Интегралы такого типа легко вычисляются с помощью тригонометрических
тождеств
))sin()(sin(
2
1
cossin
βαβαβα
++−=
, (48)
))cos()(cos(
2
1
sinsin
βαβαβα
+−−=
, (49)
))cos()(cos(
2
1
coscos
βαβαβα
++−=
. (50)
Примеры.
•
Cxxdxxxxdxx +−−=+=
∫∫
cos
2
1
3cos
6
1
)sin3(sin
2
1
cos2sin
.
•
Cxxdxxxxdxx +−=−=
∫∫
8sin
16
1
2sin
4
1
)8cos2(cos
2
1
3sin5sin
.
•
Cxxdxxxxdxx ++=+=
∫∫
6sin
12
1
2sin
4
1
)6cos2(cos
2
1
2cos4cos
.
Иногда для преобразования подынтегральной функции нужно повторно
воспользоваться тождествами (48) – (50). Так, чтобы вычислить интеграл
∫
xdxxx 4cos3cos2sin
,
нужно преобразовать произведение синусов и косинусов в их аддитивную
комбинацию.
Преобразуем произведение косинусов с помощью тождества (50):
)7cos(cos
2
1
4cos3cos xxxx +=
.
Затем воспользуемся тождеством (48):
).9sin)5sin(3sin(sin
4
1
)7cos2sincos2(sin
2
1
)7cos(cos2sin
2
1
4cos3cos2sin
xxxx
xxxx
xxxxxx
+−++=
+=
+=
Проинтегрируем каждое слагаемое:
.9cos
36
1
5cos
20
1
3cos
12
1
cos
4
1
)9sin5sin3sin(sin
4
1
4cos3cos2sin
Cxxxx
dxxxxxxdxxx
+−+−−=
+−+=
∫∫
77
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- …
- следующая ›
- последняя »
