Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Очевидно, что
2
1
=p
, , 1−=m 2
=
n ⇒
0
2
111
=
+
−
=
+
n
m
.
Поскольку число
n
m 1+
является целым, то следует применить подстановку
22
1
t
x
=+ .
Вычисления будут упрощены, если предварительно преобразовать
подынтегральное выражение, выделив комбинацию
1
2
+
x
в явном виде:
.|
1
1
|ln
2
1
)
1
1
1(
11
2
2
)1(
1)1(
1
2
111
2
2
2
2
2
2
2
2
22
C
t
t
tdt
t
dt
t
t
tdt
t
t
xd
x
x
xdx
x
x
dx
x
x
+
+
−
+=
−
+=
−
=
−
=
+
−+
+
=
+
=
+
∫
∫∫
∫∫∫
Чтобы вернуться к переменной x, нужно сделать обратную подстановку
1
2
+= xt . Окончательный результат имеет вид
C
x
x
xdx
x
x
+
++
−+
++=
+
∫
|
11
11
|ln
2
1
1
1
2
2
2
2
.
Пример 3. Преобразовать
∫
+ dxxx
3
3
1 к интегралу от рациональной
функции.
Решение. Перепишем интеграл в виде
dxxx
3131
)1( +
∫
.
В данном случае
3
1
=p
, , 1=m 2
=
n .
Проверим выполнение условий интегрируемости:
3
21
=
+
n
m
,
1
3
1
3
21
=+=+
+
p
n
m
.
Число
p
n
m
+
+1
является целым, что диктует подстановку
3
3
1
1
t
x
=+ .
Преобразуем подынтегральное выражение, выделив комбинацию
3
3
1
1
t
x
=+
в явном виде.
∫∫∫
+=+=+ )(1
1
3
1
1
1
1
3
3
3
2
3
3
3
3
xd
x
dxx
x
dxxx .
Учитывая равенства
и , приводим
интеграл к заданному виду:
133
)1(
−
−= tx tdttxd 3)1()(
233 −
−−=
∫∫
−
=+ dt
t
t
dxxx
23
2
3
3
)1(
1
.
89

Страницы