ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
29
функция.
2.
Асимптоты:
а)
,)(lim
2
2
+
∞=
+−→
xf
nx
π
π
,)(lim
2
2
+
∞
=
+→
xf
nx
π
π
следовательно, прямые
nx 2
2
π
π
+−=
,
nx 2
2
π
π
+=
, n∈ являются верти-
кальными асимптотами;
б) наклонных и горизонтальных асимптот график функции не имеет, так как
не существует предел
.
coslncos
lim
)(
lim
x
xx
x
xf
k
xx
−
==
±∞→±∞→
3.
Функция четна, т. к. область определения симметрична относительно на
чала координат и у(–x) = cos(–x) – lncos(–x) = cosx – lncosx = у(x). Следова
тельно, график симметричен относительно оси Оу.
Функция периодическая с периодом 2π, т.к. для любого х∈D(y)
(х+2πк)∈D(y) (к∈
) и у(x+2πk)=cos(x+2πk)–lncos(x+2πk)=cosx–lncosx=у(х).
4.
Найдем точки пересечения графика с координатными осями.
С осью Оу: х=0; у(0) = cos0 – lncos0=1.
С осью Oх: y=0; cos x – lncos x = 0; cos x = lncos x – уравнение не имеет дей-
ствительных корней, т. к. на области определения функции (при
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++−∈ kkx
π
π
π
π
2
2
;2
2
cos x > 0, а lncosx <0).
5.
Найдем экстремумы и интервалы монотонности функции.
.
cos
)cos1(sin
)1
cos
1
(sin
cos
sin
sin'
x
xx
x
x
x
x
xy
−
=−=+−=
y'=0 при sinx=0; x=πn, n∈
или 1– cosx = 0; cosx = 1; x = 2πn, n∈ .
y' не существует при cosx = 0;
,
2
nx
π
π
+=
n∈ – эти точки являются точками
разрыва функции
Ì min Ê
– + – + – +
° ° ° °
•
° ° ° °
2
5
π
− –2π
2
3
π
− –π
2
π
−
0
2
π
π
2
3
π
2π
2
5
π
х
Рис. 18
х =0 – точка минимума, y
min
(0)=1. С учетом периодичности функции
n
x
π
2= точки минимума, у(2πn)=1. На каждом из промежутков
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ nn
π
π
π
2
2
;2
– функция возрастает, на интервале
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+− nn
ππ
π
2;2
2
– убывает.
функция не
определена
функция не
определена
