Векторный анализ. Коноплева И.В - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

1. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
1.1 Понятие скалярного поля. Градиент.
Производная по направлению
Если каждой точке
M
области
3
RD ⊂ поставлено в соо тветствие число
)(MU , то говорят, что в области
D
задано скалярное поле U .
Зафиксируем систему координат. Тогда U можно рассматривать как
функцию трех переменных – координат zyx ,, точки
M
: ),,( zyxUU = .
Градиентом функции ),,( zyxU называется вектор, проекциями которого
на оси координат являются значения частных производных
z
u
y
u
x
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
, , :
k
z
u
j
y
u
i
x
u
z
u
y
u
x
u
ugrad
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= ;; .
Рассмотрим точку
DM ∈
и луч l , выходящий из нее. Значение произ-
водной функции U в точке
M
по направлению l (см.[2,3]) вычисляется по
формуле
γβα
coscoscos
z
u
y
u
x
uu
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
l
, (1.1)
где
γβα
cos ,cos ,cos – координаты единичного направляющего вектора
τ
луча
l или направляющие косинусы:
.coscoscos kji
γβατ
++=
1.2 Решение типовых примеров
Пример (к задаче 1). Найти производную скалярного поля
)(),,(
2
zyarctgxzyxu +−=
в точке )1,1,1(M по направлению вектора
kji 18918 ++=l
.
Решение. Вычислим ugrad в точке )1,1,1(M :
++
−
++
−=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
22
)(1
1
;
)(1
1
;2;;
zyzy
x
z
u
y
u
x
u
ugrad ,
−−=
5
1
;
5
1
;2)( Mugrad .
Найдем вектор
τ
, который совпадает по направлению с
l и имеет единичную
длину. Длина вектора
l
равна 271891 8
222
=++=l . Тогда
)cos,cos,(cos
3
2
;
3
1
;
3
2
||
γβατ
=
==
l
l
.
Производную по направлению вычисляем по формуле (1,1):
15
17
3
2
5
1
3
1
5
1
3
2
2
)(
=⋅−⋅−⋅=
∂
∂
l
Mu
.

Страницы