Векторный анализ. Коноплева И.В - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

Ответ:
15
17
)(
=
∂
∂
l
Mu
.
Пример (к задаче 1). Найти производную поля
)ln(),,(
2
zyxzyxu ++=
в точке )2,3,1(M по направлению нормали к поверхности S :
05
2
2
2
=−−+
z
zyx , образующей тупой угол с положительным направлением
оси Oz .
Решение. Найдем )(Mugrad и единичный вектор
τ
заданного направ-
ления:
++++++
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
zyxzyx
y
zyx
z
u
y
u
x
u
ugrad
222
1
;
2
;
1
;; ;
=
12
1
;
2
1
;
12
1
)( Mugrad .
Вектор нормали к поверхности 0),,(: =zyxFS в каждой точке SM ∈
определяется по формуле
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
z
MF
y
MF
x
MF
Mn
)(
;
)(
;
)(
)(.
В данном случае
5
2
),,(
2
2
−−+=
z
yzxzyxF , следовательно,
),;;2( zyzxn −=
).1;2;2()( =Mn Найдем единичный вектор
τ
направления нормали:
±=
++
±=±=
3
1
;
3
2
;
3
2
122
)1,2,2(
||
22
n
n
τ
.
Выясним, какой знак соответствует вектору, образующему тупой угол с поло-
жительным направлением оси Oz . Поскольку
)cos,cos,(cos
γβατ
=
, где
γ
–
угол между вектором
τ
и положительным направлением оси Oz , и этот угол по
условию тупой, то 0cos <
γ
. Последнее возможно лишь при выборе знака «–»,
т.е.
−−−=
3
1
;
3
2
;
3
2
τ
. Для вычисления производной остается воспользоваться
формулой (1,1):
12
5
3
1
12
1
3
2
2
1
3
2
12
1
)(
−=
−⋅+
−⋅+
−⋅=
∂
∂
l
Mu
.
Ответ:
12
5
)(
−=
∂
∂
l
Mu
.
Пример (к задаче 2). Найти угол между градиентами скалярных полей
4
2
3
),,( ,2),,(
z
xy
zyxvzyzxzyxu =+−= в точке )1,2,0(M .

Страницы