Векторный анализ. Коноплева И.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

При интегрировании этой системы надо иметь в виду следующее:
1) если одна из координатных функций вектора
a
тождественно равна
нулю (к примеру 0≡
y
a ), то соответствующая координата принима-
ет постоянное значение на каждой векторной линии )( constCy == ;
2) иногда целесообразно помимо уравнений системы (2.1) рассмотреть
их комбинации, получающиеся формально на основе свойства про-
порций;
db
ca
d
c
b
a
d
c
b
a
+
+
==⇒= .
2.2 Решение типовых примеров
Пример (к задаче 3). Найти векторные линии поля
kxziya 310 −=
.
Решение. Т. к. xzaaya
zyx
3 ,0 ,10 −=≡= , то система (2.1) имеет
вид
xz
dz
dy
y
dx
3010 −
== .
В силу замечания 1) полагаем
constCy ==
1
. Подставляя это значение в
систему, для дальнейшего определения векторной линии получаем дифферен-
циальное уравнение
xz
dz
С
dx
310
1
−= , в котором считаем
0
1
≠С
. Это уравнение с
разделяющимися переменными.
Решаем его:
. , ln ln
20
, ln
10
,
10
1
2
20
22
1
2
2
11
C
x
eCzCz
C
x
C
z
dz
C
xdx
z
dz
C
xdx
−
=+−=
∫
+
∫
−=−=
Векторные линии определяются из системы уравнений
=
≠=
−
.
,0
1
2
20
2
1
C
x
eCz
Cy
Каждая из них является линией пересечения плоскости
1
Cy =
и цилиндриче-
ской поверхности
1
2
20
2
C
x
eCz
−
= (см. рис. 2.2).
Если же y=0, то
kxza 3−=
; дифференциальные уравнения семейства
векторных линий в плоскости y=0 имеют вид
xz
dz
dy
dx
300 −
== , так что вектор-
ные линии образуют семейство прямых
==
=
.
,0
constCx
y

Страницы