Методы решения задач тепломассопереноса. Теплопроводность и диффузия в неподвижной среде. Коновалов В.И - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

3.1.1 Для простоты изложения метода разделения переменных Фурье рассмотрим решение задачи
теплопроводности в однослойной одномерной бесконечной пластине без внутренних тепловых источ-
ников. Для удобства объяснения и записи решения обозначим температурное или концентрационное
поле как поле потенциала P(x, τ).
Постановка задачи:
2
2
),(),(
x
xP
a
xP
∂
τ∂
=
∂τ
τ∂
, (3.1.1)
0),0(
=
τ
P , (3.1.2)
0),(
=
τ
δ
P , (3.1.3)
P(x,0) = ψ(x). (3.1.4)
Суть метода состоит в поиске нетривиального решения дифференциального уравнения (3.1.1) в ви-
де произведения функции координаты на функцию времени
)()(),(
τ
=
τ
TxXxP
, (3.1.5)
удовлетворяющего краевым условиям (3.1.2) – (3.1.3).
Подставляем (3.1.5) в (3.1.1), дифференцируем по соответствующим переменным и приходим к вы-
ражению
)()()()( τ
′
′
=
τ
′
TxXaTxX . (3.1.6)
Оставим в левой части равенства функции, зависящие только от х, а в правой только от τ. Получим
выражение, определяющее равенство двух дробей, каждая из которых зависит либо только от х, либо
только от τ. Такая операция и называется разделением переменных
)(
)(
)(
)(
τ
τ
′
=
′
′
aT
T
xX
xX
. (3.1.7)
Равенство (3.1.7) справедливо лишь только в случае, когда общая величина отношений (3.1.7) будет
постоянной. Обозначим эту постоянную через µ и получим
µ−=
τ
τ
′
=
′
′
)(
)(
)(
)(
aT
T
xX
xX
. (3.1.8)
Из равенства (3.1.8) получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения вида:
0)()(
=
µ
+
′
′
xXxX ; (3.1.9)
0)()(
=
τ
µ
+
τ
′
aTT . (3.1.10)
Чтобы получить нетривиальное решение уравнения (3.1.1) вида (3.1.5), удовлетворяющее краевым
условиям, необходимо, чтобы функция X(x) удовлетворяла граничным условиям. Таким образом, при-
ходим к задаче о нахождении таких значений µ, при которых существуют нетривиальные решения
уравнения (3.1.9), удовлетворяющие граничным условиям. Значения µ, для которых задача имеет не-
тривиальное решение, называются собственными числами, а сами эти решения собственными функ-
циями. Задача нахождения собственных чисел называется задачей Штурма–Лиувилля.
Решением задачи Штурма–Лиувилля является ряд ненулевых положительных значений собствен-
ных чисел µ
n
(n = 1 ... ∞). Соответственно функциональный вид решения для собственных чисел будет
определяться граничными условиями. В общем случае для некоего k-го ненулевого положительного
собственного числа можно записать
µ
k
= ϕ(k). (3.1.11)

Страницы