Методы решения задач тепломассопереноса. Теплопроводность и диффузия в неподвижной среде. Коновалов В.И - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Для любого ненулевого положительного значения µ
k
будет справедливо решение уравнения (3.1.9)
в виде
Х
k
(x) = f(µ
k
, x). (3.1.12)
Соответственно для любого ненулевого положительного значения µ
k
решение уравнения (3.1.10)
будет иметь вид
T
k
(τ)=A
k
exp (–µ
k
2
aτ). (3.1.13)
Таким образом, функция
P
k
(x,τ) = X
k
(x) T
k
(τ) (3.1.14)
является решением уравнения (3.1.1) при определенных граничных условиях.
В силу линейности и однородности уравнения (3.1.1) всякая конечная сумма решений будет также
решением. Таким образом, решение (3.1.14) задачи (3.1.1) можно преобразовать к виду
() ()()
∑
∞
=
τ=τ
1
,
n
nn
TxXxP (3.1.15)
или с учетом (3.1.13) к виду
)exp()(),(
2
1
τµ−=τ
∑
∞
=
axXAxP
nn
n
n
. (3.1.16)
Явный вид функции (3.1.12) определяется из граничных условий.
Остается определить вид A
n
в уравнении (3.1.16). Для этого используем начальные условия (3.1.4).
В начальный момент времени τ = 0. Соответственно в левой части уравнения (3.1.16) получим яв-
ный вид функции, определяющей начальное условие, а в правой части экспонента будет равна 1, то есть
() ( ) ()
∑
∞
=
==ψ
1
0,
n
nn
xXAxPx . (3.1.17)
Соответственно вид А
n
определится из разложения функции начального условия в ряд Фурье. Та-
ким образом, с учетом начальных и граничных условий получаем аналитическое представление реше-
ния задачи (3.1.1) в виде (3.1.16).
3.1.2 Рассмотрим использование метода разделения переменных для решения ряда краевых задач
на примерах
Пример № 3.1
Найти решение задачи теплопроводности однослойной одномерной бесконечной пластины толщи-
ной l. Теплопроводность пластины λ, плотность ρ, теплоемкость с. Тепловые источники в пластине от-
сутствуют.
В начальный момент времени температурное поле внутри пластины описывается уравнением f(x) = T
0
.
На поверхностях пластины поддерживается постоянная температура T
c1
и Т
с2
.
Постановка задачи:
2
2
),(),(
x
xP
a
xP
∂
τ∂
=
∂τ
τ∂
; (3.1.18)
P(x, 0) = f(x) = T
0
; (3.1.19)
P(0, τ) = T
c1
; (3.1.20)
P(l, τ) = T
c2
. (3.1.21)
Решение системы (3.1.18) – (3.1.21) получим в виде функции

Страницы