Методы решения задач тепломассопереноса. Теплопроводность и диффузия в неподвижной среде. Коновалов В.И - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

P(x, τ) = V(x, τ)+W(x), (3.1.22)
где V(x, τ) – функция распределения температуры в любой момент времени при граничных условиях
вида:
P(0, τ) = 0, (3.1.23)
P(l, τ) = 0; (3.1.24)
W(x) – функция, определяющая стационарное распределение температуры при граничных условиях
(3.1.20) – (3.1.21).
Соответственно уравнению (3.1.22) система (3.1.18) – (3.1.21) преобразуется в две системы:
(
)
0
2
2
=
dx
xWd
, (3.1.25)
W(0,τ) = T
c1
, (3.1.26)
W(l,τ) = T
c2
. (3.1.27)
и
2
2
),(),(
x
xV
a
xV
∂
τ∂
=
∂τ
τ∂
, (3.1.28)
V(x, 0) = ψ(x) = f(x) – W(x)
,
(3.1.29)
V(0, τ) = 0, (3.1.30)
V(l, τ) = 0. (3.1.31)
Решение уравнения (3.1.25) известно
W(x) = C
1
x + C
2
. (3.1.32)
Для определения явного вида коэффициентов C
1
и C
2
в уравнении (3.1.32) используем граничные
условия вида (3.1.26), (3.1.27). Отсюда получаем:
C
1
= (T
c2
– T
c1
) / l, (3.1.33)
C
2
= T
c1
. (3.1.34)
Теперь необходимо получить решение краевой задачи (3.1.28) – (3.1.31).
Используем метод разделения переменных. Получим уравнения вида (3.1.9), (3.1.10).
Чтобы получить нетривиальное решение уравнения (3.1.28), удовлетворяющее граничным условиям
(3.1.30), (3.1.31), найдем решение уравнения (3.1.9), удовлетворяющее (3.1.30), (3.1.31).
Получим задачу Штурма–Лиувилля в виде:
0)()(
=
µ
+
′
′
xXxX , (3.1.35)
X(0) = 0, (3.1.36)
X(l) = 0. (3.1.37)
Из теории дифференциальных уравнений в случае (3.1.35) – (3.1.37) возможны три варианта реше-
ния: а) при µ < 0, б) при µ = 0, в) при µ > 0.
Нам необходимо найти ряд ненулевых положительных значений µ. Соответственно при µ > 0 реше-
ние уравнения (3.1.35) имеет вид
X(x) = C
3
сos(µx)+C
4
sin(µx). (3.1.38)

Страницы