Методы решения задач тепломассопереноса. Теплопроводность и диффузия в неподвижной среде. Коновалов В.И - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Решаем (3.1.38), исходя из(3.1.36) – (3.1.37), и получаем:
C
3
= 0, (3.1.39)
C
4
sin(µx) = 0. (3.1.40)
Так как необходимо получить нетривиальное решение, то C
4
≠ 0. Следовательно
sin(µx) = 0. (3.1.41)
Равенству (3.1.41), определяющему решение задачи Штурма-Лиувилля, соответствует
µ
n
= nπ/l, n = 1, 2 ... ∞. (3.1.42)
Таким образом, определили вид Х(х).
Как уже отмечалось выше, для любого ненулевого положительного значения µ
k
решение уравнения
(3.1.10) будет иметь вид
T
k
(τ) = A
k
exp (–µ
k
2
aτ). (3.1.43)
Соответственно
τ
π
−
π
=τ
∑
∞
=
a
l
n
x
l
n
AxV
n
n
2
1
expsin),( . (3.1.44)
Определим А
n
из начального условия (3.1.29)
() ( )
∑
∞
=
µ=ψ
1
sin
n
nn
xAx . (3.1.45)
Найдем вид А
n
, используя свойство ортогональности функции sin(µ
n
x) (вообще говоря, ортогональ-
ность функции необходимо доказать и найти коэффициент ортогональности. Мы не будем этого делать,
отметим лишь, что для sin(µ
n
x) коэффициент ортогональности равен 1).
По условию ортогональности функции:
() ()
0
0
=
∫
dxxXxX
k
l
n
, (3.1.46)
()
∫∫
=
π
=
ll
n
l
dxx
l
n
dxxX
00
22
2
sin
. (3.1.47)
Умножим обе части уравнения (3.1.45) на X
k
(x)
() ()
∑
∞
=
=ψ
1
)()(
n
knnk
xXxXAxXx . (3.1.48)
Проинтегрируем обе части (3.1.48) от 0 до l
() () () () ()
∫∫
∑
+=ψ
∞
≠
ll
kn
nknnk
dxxXxXxXAdxxXx
00
2
. (3.1.49)
Учитывая (3.1.46) и (3.1.17), первое слагаемое под интегралом в скобках находим равным 0, а вто-
рое равным l/2. В результате получим
()
∫
π
ψ=
l
n
dxx
l
n
x
l
A
0
sin
2
. (3.1.50)
Интеграл (3.1.50), при известном виде функции ψ(x), можно взять аналитически.

Страницы