Методы решения задач тепломассопереноса. Теплопроводность и диффузия в неподвижной среде. Коновалов В.И - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Выражение (1.3) является основой для вывода дифференциального уравнения температурного поля
– закона теплопроводности Фурье.
Теплопроводность λ характеризует интенсивность переноса тепла в теле. В случае однородного
изотропного тела значение коэффициента теплопроводности λ определяется количеством теплоты, про-
ходящим в единицу времени при перепаде температуры в один градус на единице длины нормали. Та-
ким образом, коэффициент теплопроводности имеет размерность Вт/(м·К). Значение коэффициента те-
плопроводности зависит от температуры, а в анизотропных телах – от направления теплового потока, а
также от плотности, влажности и других характеристик материала (среды).
1.1.3 Аналитическая теория теплопроводности основана на дифференциальном уравнении тепло-
проводности Фурье, физический смысл которого заключается в том, что уравнение связывает простран-
ственное распределение температуры с изменением ее по времени. Вывод дифференциального уравне-
ния теплопроводности осуществляется из баланса тепла для единицы объема тела с учетом всех его со-
ставляющих и градиентного закона переноса тепла Фурье.
В прямоугольной системе координат дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид
vzyx
q
z
T
zy
T
yx
T
x
T
c +
∂
∂
λ
∂
∂
+
∂
∂
λ
∂
∂
+
∂
∂
λ
∂
∂
=
τ∂
∂
ρ
, (1.4)
где x, y, z – пространственные координаты, q
v
– мощность внутренних объемных источников (стоков
тепла) в теле, например, при фазовых или химических превращениях, при объемном тепловыделении (в
частности, при СВЧ нагреве), Вт, при их отсутствии q
v
= 0; с – теплоемкость, Дж/(кг⋅К); ρ – плотность,
кг/м
3
.
В уравнении (1.4) величины с, λ, ρ, q
v
в общем случае являются функциями координат x, y, z и тем-
пературы T, то есть уравнение (1.4) нелинейно.
Если предположить постоянство с, λ, ρ, q
v
, то уравнение (1.4) упростится и примет вид дифферен-
циального уравнения в частных производных второго порядка параболического типа
ρ
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
τ∂
∂
c
q
z
T
y
T
x
T
a
T
v
2
2
2
2
2
2
(1.5)
или
ρ
+∇=
τ∂
∂
c
q
Ta
T
v
2
, (1.6)
где ∇
2
Т – оператор Лапласа; a = λ/(с ρ) – температуропроводность, м
2
/с.
Уравнение (1.6) можно записать также в сферических, цилиндрических или других системах коор-
динат.
Существуют другие способы вывода, приводящие к более сложным выражениям уравнения теп-
лопроводности: с включением второй и даже третьей производных; с учетом фактически конечной
скорости распространения тепла в веществе, приводящего к гиперболическому дифференциальному
уравнению и т.д. Целесообразность их применения возникает при особо интенсивных тепловых пото-
ках, в так называемых нелинейных процессах и системах и пр.
1.1.4 На практике для решения задач теплопроводности по возможности выбираются модельные
тела наиболее распространенных и простых геометрических форм – так называемые канонические
формы:
– одномерная бесконечная пластина, то есть пластина, геометрически ограниченная только по од-
ной координате – толщине и соответственно изменение температуры которой происходит только по од-
ной координатной оси, обычно х;
– одномерный бесконечный цилиндр;
– одномерный шар;
– двух- и многослойные одномерные пластины, цилиндр, шар;
– двухмерные одно-, двух- и многослойные пластины, цилиндр, шар;
– трехмерные пластины, цилиндр, шар.

Страницы