ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
В пособии рассматриваются несколько модельных задач элект-
ро- и магнитостатики на плоскости, решение которых основы-
вается на применении конформных отображений и других стан-
дартных методов ТФКП, связанных с вычислением интегралов на
основе теории вычетов. Как известно, задачи электро- и магни-
тостатики сводятся к решению уравнения Лапласа для электри-
ческого или магнитного потенциала в рассматриваемой области
при наличии граничных условий смешанного типа. В рассма-
триваемых ниже примерах показано, как подобные задачи можно
свести к стандартной задаче Дирихле в верхней полуплоскости,
решение которой дается известной формулой Пуассона.
Задача 1. На плоскос ти R
2
поляризованный диэлектрик за-
полняет замкнутую область:
G
2
=
n
x
y
: y ≤ 0
o
S
n
x
y
: x
2
+ y
2
≤ 1, y ≥ 0
o
,
как показано на 1. Вектор поляризации диэлектрика
~
P сонапра-
влен с ос ью ординат. В открытой области G
1
= R
2
\G
2
вещество
отсутствует. Требуется найти электрическое поле в области G
1
.
x
y
0
x
y
0
i
1
−1
G
1
G
2
~
P
Рис. 1.
В области G
1
векторы напряженности электрического поля
~
E
1
и электрической индукции
~
D
1
совпадают и удовлетворяют урав-
нениям Максвелла:
div
~
D
1
= 0, (1)
rot
~
E
1
=
~
0. (2)
Следовательно, можно искать векторное поле
~
E
1
в виде
~
E
1
=
= grad Φ . Здесь скалярная функция Φ : G
1
→ R имеет смысл
2
В пособии рассматриваются несколько модельных задач элект-
ро- и магнитостатики на плоскости, решение которых основы-
вается на применении конформных отображений и других стан-
дартных методов ТФКП, связанных с вычислением интегралов на
основе теории вычетов. Как известно, задачи электро- и магни-
тостатики сводятся к решению уравнения Лапласа для электри-
ческого или магнитного потенциала в рассматриваемой области
при наличии граничных условий смешанного типа. В рассма-
триваемых ниже примерах показано, как подобные задачи можно
свести к стандартной задаче Дирихле в верхней полуплоскости,
решение которой дается известной формулой Пуассона.
Задача 1. На плоскости R2 поляризованный диэлектрик за-
полняет замкнутую область:
n oSn o
x x 2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0
G2 = y : y ≤ 0 y : x ,
как показано на 1. Вектор поляризации диэлектрика P~ сонапра-
влен с осью ординат. В открытой области G1 = R2 \G2 вещество
отсутствует. Требуется найти электрическое поле в области G1 .
y
G1 i
−1 1
0 x
G2
P~
Рис. 1.
В области G1 векторы напряженности электрического поля E~1
~
и электрической индукции D1 совпадают и удовлетворяют урав-
нениям Максвелла:
~ 1 = 0,
div D (1)
~ 1 = ~0.
rot E (2)
~ 1 в виде E
Следовательно, можно искать векторное поле E ~1 =
= grad Φ . Здесь скалярная функция Φ : G1 → R имеет смысл
2
