Применение конформных отображений в решении некоторых задач электро- и магнитостатики. Константинов Р.В. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

D
1n
=
∂Φ
∂x
cos ϕ +
∂Φ
∂y
sin ϕ
γ
c
= D
2n
= 0, (8)
E
1t
=
∂Φ
∂x
sin ϕ −
∂Φ
∂y
cos ϕ
γ
c
= E
2t
= 4πP cos ϕ. (9)
Введем в рассмотрение скалярную функцию F : G
1
→ R, гар-
моническую в G
1
и сопряженную гармонической функции Φ (см. [2],
§ 5, определение 5). Тогда комплекснозначная функция f(z) =
= Φ (x,y)+iF (x,y) регулярна в области G
1
, причем f
0
(z) = Φ
0
x
(x,y)−
− iΦ
0
y
(x,y). В силу соотношений (6), (7), (8), (9) получаем
f
0
γ
0
= 0, (10)
f
0
γ
c
e
iϕ
= −4πiP cos ϕ. (11)
Рассмотрим конформное отображение области G
1
на верхнюю
полуплоскость, которое дается функцией Жуковского:
h(z) =
1
2
z +
1
z
.
В силу теоремы 1 из § 29 [2] получаем, что функция f предста-
вима в виде f(z) = g(h(z)) для всех z ∈ G
1
, где функция g регу-
лярна в верхней полуплоскости. Определим граничные условия
для функции g на границе верхней полуплоскости Γ = h(γ). Обо-
значим
Γ
0
= h(γ
0
) = {u + i0 : |u| > 1},
Γ
c
= h(γ
c
) = {u + i0 : |u| < 1}.
Так как f
0
(z) = g
0
(w)h
0
(z), где w = u + iv = h(z), то в силу (10)
для w = u + i0 = h(z)|
γ
0
∈ Γ
0
получаем
g
0
(w)
Γ
0
h
0
(z)
γ
0
= 0, (12)
а в силу (11) для w = u + i0 = h
e
iϕ
∈ Γ
c
получаем
g
0
(w)
Γ
c
h
0
e
iϕ
e
iϕ
= −4πiP cos ϕ. (13)
Из соотношения (12) получаем (Re g)
0
u
|
Γ
0
= 0, т. е.
Re g(u,0) = const , |u| > 1. (14)
4
                 ∂Φ         ∂Φ
        D1n =       cos ϕ +    sin ϕ                   = D2n = 0,            (8)
                 ∂x         ∂y                    γc
                 ∂Φ         ∂Φ
         E1t =      sin ϕ −    cos ϕ                   = E2t = 4πP cos ϕ.    (9)
                 ∂x         ∂y                    γc

    Введем в рассмотрение скалярную функцию F : G1 → R, гар-
моническую в G1 и сопряженную гармонической функции Φ (см. [2],
§ 5, определение 5). Тогда комплекснозначная функция f (z) =
= Φ (x,y)+iF (x,y) регулярна в области G1 , причем f 0 (z) = Φ 0x (x,y)−
− iΦ 0y (x,y). В силу соотношений (6), (7), (8), (9) получаем
                           f0   γ0
                                     = 0,                                   (10)
                      f0   γc
                                iϕ
                                e    = −4πiP cos ϕ.                         (11)

   Рассмотрим конформное отображение области G1 на верхнюю
полуплоскость, которое дается функцией Жуковского:
                                     
                             1      1
                      h(z) =     z+     .
                             2      z
В силу теоремы 1 из § 29 [2] получаем, что функция f предста-
вима в виде f (z) = g(h(z)) для всех z ∈ G1 , где функция g регу-
лярна в верхней полуплоскости. Определим граничные условия
для функции g на границе верхней полуплоскости Γ = h(γ). Обо-
значим
                 Γ0 = h(γ0 ) = {u + i0 : |u| > 1} ,
                 Γc = h(γc ) = {u + i0 : |u| < 1} .
Так как f (z) = g 0 (w)h0 (z), где w = u + iv = h(z), то в силу (10)
         0

для w = u + i0 = h(z)|γ0 ∈ Γ0 получаем
                        g 0 (w)     Γ0
                                         h0 (z)   γ0
                                                       = 0,                 (12)

а в силу (11) для w = u + i0 = h eiϕ ∈ Γc получаем
                                       

                g 0 (w) Γc h0 eiϕ eiϕ = −4πiP cos ϕ.
                                 
                                                                            (13)
Из соотношения (12) получаем (Re g)0u |Γ0 = 0, т. е.
                    Re g(u,0) = const , |u| > 1.                            (14)

                                          4

Страницы