Применение конформных отображений в решении некоторых задач электро- и магнитостатики. Константинов Р.В. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

для произвольных u ∈ R и v > 0.
Для вычисления этого интеграла воспользуемся теорией вы-
четов. В области D = C\[−1,1] рассмотрим регулярную ветвь
s(z) ∈
√
1 − z
2
, такую, что s(0+i0) = 1. Далее для произвольного
достаточно малого ε > 0 рассмотрим интеграл
I
ε
=
I
C
ε
s(z) dz
(z −u)
2
+ v
2
, (19)
где имеющий вид “гантели” (см. рис. 2) контур
C
ε
= C
1ε
S
C
+
ε
S
C
2ε
S
C
−
ε
составлен из окружностей C
1ε
и C
2ε
радиуса ε с центрами в точ-
ках −1 и 1 соответственно, а также двух берегов C
+
ε
и C
−
ε
раз-
реза по отрезку [−1+ε,1−ε]. Контур C
ε
ориентирован по часовой
стрелке.
x
y
0
x
y
0
ψ
ϕ
u + iv
−1 1
C
+
ε
C
−
ε
C
1ε
C
2ε
Рис. 2.
Обозначим подынтегральную функцию в (19) через J(z). По
теореме о вычетах (теорема 1 § 13 [2]) получаем
I
ε
= 2πi
res
∞
J + res
u+iv
J + res
u−iv
J
=
=
R
C
+
ε
+
R
C
−
ε
+
R
C
1ε
+
R
C
2ε
!
J(z) dz.
(20)
Так как для |t| < 1 − ε имеем s(t ±i0) = ±
√
1 − t
2
, то
6
для произвольных u ∈ R и v > 0.
   Для вычисления этого интеграла воспользуемся теорией вы-
четов. √В области D = C\[−1,1] рассмотрим регулярную ветвь
s(z) ∈ 1 − z 2 , такую, что s(0 + i0) = 1. Далее для произвольного
достаточно малого ε > 0 рассмотрим интеграл
                            I
                                   s(z) dz
                       Iε =                   ,               (19)
                               (z − u)2 + v 2
                              Cε

где имеющий вид “гантели” (см. рис. 2) контур
                 Cε = C1ε Cε+ C2ε Cε−
                         S     S     S

составлен из окружностей C1ε и C2ε радиуса ε с центрами в точ-
ках −1 и 1 соответственно, а также двух берегов Cε+ и Cε− раз-
реза по отрезку [−1+ε,1−ε]. Контур Cε ориентирован по часовой
стрелке.
                                     y
                    u + iv




                              ψ C+
                  C1ε            ε           ϕ             C2ε
                         −1          0                 1         x
                               Cε−




                                    Рис. 2.
   Обозначим подынтегральную функцию в (19) через J(z). По
теореме о вычетах (теорема 1 § 13 [2]) получаем
                                             
              Iε = 2πi res J + res J + res J =
                         ∞     u+iv     !u−iv
                     R    R    R     R                 (20)
                 =      +   +     +       J(z) dz.
                        Cε+   Cε−     C1ε        C2ε
                                           √
Так как для |t| < 1 − ε имеем s(t ± i0) = ± 1 − t2 , то

                                         6

Страницы