Применение конформных отображений в решении некоторых задач электро- и магнитостатики. Константинов Р.В. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

res
u+iv
J =
s(u + iv)
2iv
=
p
|1 − w
2
|exp
i
2
(ψ(u,v) − φ(u,v))
2iv
,
res
u−iv
J =
s(u − iv)
−2iv
=
p
|1 − w
2
|exp
i
2
(φ(u,v) − ψ(u,v))
2iv
.
Осталось вычислить res
∞
J. Для произвольного вещественного x >
> 1 находим
s(x) =
p
x
2
− 1 exp
−
iπ
2
= −ix
r
1 −
1
x
2
=
= −ix
1 −
1
2x
2
+ O
1
x
4

.
Следовательно, в силу теоремы единственности регулярной функ-
ции (теорема 1 § 10 [2]) в области |z| > 1 справедливо равенство
s(z) = −iz +
i
2z
+ O
1
z
3
,
так как оно справедливо на луче x > 1. Отсюда для |z| > 1
получаем
J(z) =
−iz + O
1
z
z
2
1 + O
1
z

= −
i
z
+ O
1
z
2
.
Таким образом, по формуле (12) из § 13 [2] находим, что
res
∞
J = i.
Наконец, пользуясь соотношением (21), получаем значение иско-
мого интеграла:
I =
π
v
p
|1 − w
2
|cos
ψ(u,v) − φ(u,v)
2
− π. (24)
Окончательно из (17) получаем для любых u ∈ R и v > 0:
Re g(u,v) = 4πP
p
|1 − w
2
|cos
ψ(u,v) − φ(u,v)
2
− v
.
Таким образом, получаем вид электрического потенциала в обла-
сти G
1
:
8
                           p                   i
             s(u + iv)         |1 − w2 | exp    2 (ψ(u,v)   − φ(u,v))
     res J =           =                                                ,
    u+iv        2iv                             2iv
                           p
                             |1 − w2 | exp 2i (φ(u,v) − ψ(u,v))
                                          
              s(u − iv)
      res J =            =                                       .
     u−iv       −2iv                         2iv
Осталось вычислить res J. Для произвольного вещественного x >
                      ∞
> 1 находим
                                 r
        p
           2
                        iπ                 1
s(x) = x − 1 exp −           = −ix 1 − 2 =
                         2                x
                                                             
                                                      1         1
                                        = −ix 1 − 2 + O            .
                                                     2x         x4
Следовательно, в силу теоремы единственности регулярной функ-
ции (теорема 1 § 10 [2]) в области |z| > 1 справедливо равенство
                                           
                                   i          1
                   s(z) = −iz +       +O         ,
                                  2z         z3
так как оно справедливо на луче x > 1. Отсюда для |z| > 1
получаем
                    −iz + O z1
                                        
                                    i    1
            J(z) = 2        1
                                =− +O    2
                                             .
                   z 1+O z          z    z
Таким образом, по формуле (12) из § 13 [2] находим, что
                               res J = i.
                                ∞
Наконец, пользуясь соотношением (21), получаем значение иско-
мого интеграла:
                                                
               πp       2
                                 ψ(u,v) − φ(u,v)
           I=     |1 − w | cos                     − π.  (24)
               v                        2
Окончательно из (17) получаем для любых u ∈ R и v > 0:
                                                         
                      p                 ψ(u,v) − φ(u,v)
    Re g(u,v) = 4πP     |1 − w2 | cos                     −v .
                                               2
Таким образом, получаем вид электрического потенциала в обла-
сти G1 :

                                    8

Страницы