Применение конформных отображений в решении некоторых задач электро- и магнитостатики. Константинов Р.В. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

R
C
+
ε
+
R
C
−
ε
!
J(z) dz = 2
1−ε
Z
−1+ε
√
1 − t
2
dt
(t − u)
2
+ v
2
(ε→+0)
→ 2I.
Далее, так как функция J(z) ограничена в окрестности точек ±
±1, то
R
C
1,2ε
J(z) dz → 0 при ε → +0. Следовательно, переходя в
равенстве (20) к пределу при ε → +0, находим
2πi
res
∞
J + res
u+iv
J + res
u−iv
J
= 2I. (21)
Для вычисления вычетов res
u±iv
J нам потребуются значения s(u ±
± iv). Для их вычисления воспользуемся формулой (см. лемму 6
и теорему 2 из § 16 [2]):
s(z) =
p
|1 − z
2
|exp
i
2
∆
γ(z)
arg(1 − z) + ∆
γ(z)
arg(1 + z)
,
где γ(z) гладкая кривая c началом в точке, лежащей на верхнем
крае разреза C
+
ε
и концом в точке z. Находим для произвольных
u ∈ R, v > 0 (см. рис. 2):
∆
γ(u+iv)
(1 − z) = −arccos
1−u
√
(1−u)
2
+v
2
= −φ(u,v), (22)
∆
γ(u+iv)
(1 + z) = arccos
1+u
√
(1+u)
2
+v
2
= ψ(u,v). (23)
Аналог ично получаем (см. рис. 2), что
∆
γ(u−iv)
(1 − z) = φ(u,v), ∆
γ(u−iv)
(1 + z) = 2π −ψ(u,v).
Следовательно,
s(u + iv) =
p
|1 − w
2
|exp
i
2
(ψ(u,v) −φ(u,v))
,
s(u − iv) = −
p
|1 − w
2
|exp
i
2
(φ(u,v) −ψ(u,v))
.
Тогда в силу леммы 2 § 13 [2] получаем
7
                         !                 1−ε √
                                                     1 − t2 dt
                                           Z
          R        R                                              (ε→+0)
               +             J(z) dz = 2                           →       2I.
         Cε+       Cε−
                                                 (t − u)2 + v 2
                                          −1+ε

        R как функция J(z) ограничена в окрестности точек ±
Далее, так
±1, то     J(z) dz → 0 при ε → +0. Следовательно, переходя в
       C1,2ε
равенстве (20) к пределу при ε → +0, находим
                                        
                2πi res J + res J + res J = 2I.                                  (21)
                               ∞      u+iv        u−iv

Для вычисления вычетов res J нам потребуются значения s(u ±
                                   u±iv
± iv). Для их вычисления воспользуемся формулой (см. лемму 6
и теорему 2 из § 16 [2]):
                                                             
        p
                2
                          i
  s(z) = |1 − z | exp       ∆γ(z) arg(1 − z) + ∆γ(z) arg(1 + z)   ,
                          2
где γ(z) гладкая кривая c началом в точке, лежащей на верхнем
крае разреза Cε+ и концом в точке z. Находим для произвольных
u ∈ R, v > 0 (см. рис. 2):
                                                  
                                     √   1−u
       ∆γ(u+iv) (1 − z) = − arccos                   = −φ(u,v), (22)
                                       (1−u)2 +v 2
                                                  
       ∆γ(u+iv) (1 + z) = arccos √ 1+u2 2 = ψ(u,v). (23)
                                                  (1+u) +v

Аналогично получаем (см. рис. 2), что
     ∆γ(u−iv) (1 − z) = φ(u,v), ∆γ(u−iv) (1 + z) = 2π − ψ(u,v).
Следовательно,
                               p
                                |1 − w2 | exp 2i (ψ(u,v) − φ(u,v)) ,
                                             
        s(u + iv) =

        s(u − iv) = − |1 − w2 | exp 2i (φ(u,v) − ψ(u,v)) .
                     p             

Тогда в силу леммы 2 § 13 [2] получаем

                                             7

Страницы