Применение конформных отображений в решении некоторых задач электро- и магнитостатики. Константинов Р.В. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Поскольку h
0
(z) =
1
2
1 −
1
z
2
, то h
0
e
iϕ
e
iϕ
= i sin ϕ, и из
соотношения (13) находим
g
0
(w)
Γ
c
i sin ϕ = −4πiP cos ϕ.
Следовательно,
g
0
(w)
Γ
c
= (Re g)
0
u
Γ
c
− i (Re g)
0
v
Γ
c
= −4πP ctg ϕ.
Так как cos ϕ = h(e
iϕ
) = u, sin ϕ =
√
1 − u
2
для u ∈ Γ
c
, то
(Re g)
0
u
Γ
c
= −4πP
u
√
1 − u
2
.
Следовательно,
Re g(u,0) = 4πP
p
1 − u
2
+ const , |u| < 1. (15)
Поскольку для определения напряженности электрического поля
в области G
1
функцию f достаточно знать с точностью до неко-
торой константы, то в соотношениях (14) и (15) без ограничения
общности считаем const = 0.
Итак, для определения гармонической в верхней полуплоско-
сти функции Re g получаем задачу Дирихле:
∆ (Re g(u,v)) = 0, v > 0,
Re g(u,0) =
(
0, |u| > 1,
4πP
p
1 − u
2
, |u| < 1.
(16)
Решение этой задачи дается формулой Пуассона (см. теорему 5
§ 29 [2]). Получаем
Re g(u,v) = 4P v
1
Z
−1
√
1 − t
2
(t − u)
2
+ v
2
dt, v > 0. (17)
Нашей целью теперь является вычисление интеграла
I =
1
Z
−1
√
1 − t
2
(t − u)
2
+ v
2
dt, (18)
5
                               
                    0 1       1
                          1 − 2 , то h0 eiϕ eiϕ = i sin ϕ, и из
                                           
   Поскольку h (z) =
                      2      z
соотношения (13) находим
                         g 0 (w)   Γc
                                        i sin ϕ = −4πiP cos ϕ.
Следовательно,
         g 0 (w)   Γc
                        = (Re g)0u
                               − i (Re g)0v Γc = −4πP ctg ϕ.
                                        Γc
                                     √
Так как cos ϕ = h(eiϕ ) = u, sin ϕ = 1 − u2 для u ∈ Γc , то
                                             u
                   (Re g)0u Γc = −4πP √           .
                                           1 − u2
Следовательно,
                             p
           Re g(u,0) = 4πP 1 − u2 + const , |u| < 1.             (15)
Поскольку для определения напряженности электрического поля
в области G1 функцию f достаточно знать с точностью до неко-
торой константы, то в соотношениях (14) и (15) без ограничения
общности считаем const = 0.
   Итак, для определения гармонической в верхней полуплоско-
сти функции Re g получаем задачу Дирихле:
           
           
            ∆ (Re g(u,v)) = 0,    v > 0,
           
           
                             (                             (16)
                               0,           |u| > 1,
            Re g(u,0) =
           
                                  p
                                4πP 1 − u2 , |u| < 1.
Решение этой задачи дается формулой Пуассона (см. теорему 5
§ 29 [2]). Получаем
                             Z1 √
                                    1 − t2
            Re g(u,v) = 4P v                  dt, v > 0. (17)
                               (t − u)2 + v 2
                                        −1

   Нашей целью теперь является вычисление интеграла
                       Z1 √
                              1 − t2
                   I=                   dt,                      (18)
                         (t − u)2 + v 2
                                    −1


                                              5

Страницы