Применение конформных отображений в решении некоторых задач электро- и магнитостатики. Константинов Р.В. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Задача 2. На плоскости R
2
идеальный проводник заполняет
замкнутую область:
G
2
=
n
x
y
: y ≤ 0
o
S
n
0
y
: 0 ≤ y ≤ 1
o
,
как показано на рис. 3. Вектор намагниченности проводника
~
J
сонаправлен с осью ординат. В области G
1
= R
2
\G
2
проводники
отсутствуют. Требуется найти магнитное поле в области G
1
.
x
y
0
x
y
0
i
G
1
G
2
~
J
Рис. 4.
В области G
1
векторы напряженности магнитного поля
~
H
1
и
магнитной индукции
~
B
1
совпадают и удовлетворяют уравнениям
Максвелла:
div
~
B
1
= 0, (25)
rot
~
H
1
=
~
0. (26)
Следовательно, можно искать векторное поле
~
B
1
в виде
~
B
1
=
= grad A. Здесь скалярная функция A: G
1
→ R имеет смысл маг-
нитного потенциала. При этом уравнение (26) автоматически вы-
полняется, а уравнение (25) превращается в уравнение Лапласа
для A в области G
1
:
∆A = 0. (27)
Осталось определить, каким граничным условиям на границе
γ = ∂G
1
области G
1
должна удовлетворять функция A. Пусть
~
H
2
и
~
B
2
– векторы напряженности магнитного поля и магнитной
индукции в области G
2
соответственно. Тогда
~
B
2
=
~
H
2
+ 4π
~
J =
=
~
0. Следовательно,
~
H
2
= −4π
~
J.
Пусть ~n – единичный вектор внешней нормали к границе обла-
сти G
2
, а
~
t – единичный касательный вектор к границе области
10
   Задача 2. На плоскости R2 идеальный проводник заполняет
замкнутую область:
              n           oSn               o
                 x                0
         G2 =    y  : y ≤ 0       y : 0 ≤ y ≤ 1   ,

как показано на рис. 3. Вектор намагниченности проводника J~
сонаправлен с осью ординат. В области G1 = R2 \G2 проводники
отсутствуют. Требуется найти магнитное поле в области G1 .
                               y

                         G1    i


                               0                x
                         G2
                                           J~

                              Рис. 4.
   В области G1 векторы напряженности магнитного поля H~1 и
                    ~
магнитной индукции B1 совпадают и удовлетворяют уравнениям
Максвелла:
                            ~ 1 = 0,
                        div B                          (25)
                               ~ 1 = ~0.
                           rot H                              (26)
Следовательно, можно искать векторное поле B   ~ 1 в виде B ~1 =
= grad A. Здесь скалярная функция A: G1 → R имеет смысл маг-
нитного потенциала. При этом уравнение (26) автоматически вы-
полняется, а уравнение (25) превращается в уравнение Лапласа
для A в области G1 :
                             ∆A = 0.                         (27)
    Осталось определить, каким граничным условиям на границе
γ = ∂G1 области G1 должна удовлетворять функция A. Пусть
~2 и B
H     ~ 2 – векторы напряженности магнитного поля и магнитной
индукции в области G2 соответственно. Тогда B  ~2 = H~ 2 + 4π J~ =
  ~                    ~
= 0. Следовательно, H2 = −4π J.~
    Пусть ~n – единичный вектор внешней нормали к границе обла-
сти G2 , а ~t – единичный касательный вектор к границе области

                                10

Страницы