Применение конформных отображений в решении некоторых задач электро- и магнитостатики. Константинов Р.В. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим конформное отображение области G
1
на верхнюю
полуплоскость, которое дается функцией h(z) = s(z
2
+ 1), где
s(z) ∈
√
z – регулярная ветвь многозначной функции
√
z в обла-
сти C\[0, + ∞), такая, что s(−1) = i. Приведем явный вид этой
функции:
s(z) =
p
|z|exp
i
2
arg z
.
Здесь arg z ∈ [0,2π) – главное значение аргумента комплексного
числа z. В силу теоремы 1 из § 29 [2] получаем, что функция f
представима в виде f (z) = g(h(z)) для всех z ∈ G
1
, где функция g
регулярна в верхней полуплоскости. Определим граничные усло-
вия для функции g на границе верхней полуплоскости Γ = h(γ).
Обозначим
Γ
0
= h(γ
0
) = {u + i0 : |u| > 1},
Γ
±
= h(γ
+
S
γ
−
) = {u + i0 : |u| < 1}.
Так как f
0
(z) = g
0
(w)h
0
(z) = g
0
(w)
z
h(z)
, где w = u + iv = h(z), что
равносильно z = s(w
2
− 1), то в силу (34), (35) получаем
g
0
(w)
Γ
0
= 0, (36)
g
0
(w)
s(w
2
− 1)
w
Γ
±
= 4πiJ. (37)
Так как для w = u + i0 ∈ Γ
±
справедливо равенство
s(w
2
− 1)
Γ
±
=
p
1 − u
2
exp
i
2
arg(u
2
− 1)
=
=
p
1 − u
2
exp
iπ
2
= i
p
1 − u
2
,
то для |u| < 1 получаем
g
0
(u + i0) = (Re g)
0
u
(u,0) − i(Re g)
0
v
(u,0) =
4πJu
√
1 − u
2
Следовательно,
12
   Рассмотрим конформное отображение области G1 на верхнюю
полуплоскость,
      √          которое дается функцией h(z) = s(z 2√+ 1), где
s(z) ∈ z – регулярная ветвь многозначной функции z в обла-
сти C\[0, + ∞), такая, что s(−1) = i. Приведем явный вид этой
функции:                                   
                          p          i
                    s(z) = |z| exp     arg z .
                                     2
Здесь arg z ∈ [0,2π) – главное значение аргумента комплексного
числа z. В силу теоремы 1 из § 29 [2] получаем, что функция f
представима в виде f (z) = g(h(z)) для всех z ∈ G1 , где функция g
регулярна в верхней полуплоскости. Определим граничные усло-
вия для функции g на границе верхней полуплоскости Γ = h(γ).
Обозначим
                 Γ0 = h(γ0 )              = {u + i0 : |u| > 1} ,

                                  S
                Γ± = h(γ+             γ− ) = {u + i0 : |u| < 1} .
                                   z
Так как f 0 (z) = g 0 (w)h0 (z) = g 0 (w)
                                      , где w = u + iv = h(z), что
                                 h(z)
равносильно z = s(w2 − 1), то в силу (34), (35) получаем
                                        g 0 (w)   Γ0
                                                       = 0,           (36)
                                  s(w2 − 1)
                        g 0 (w)                        = 4πiJ.        (37)
                                     w            Γ±

Так как для w = u + i0 ∈ Γ± справедливо равенство
                                       
   2
              p             i      2
s(w − 1) Γ± = 1 − u2 exp      arg(u − 1) =
                            2
                                             
                                  p
                                        2
                                              iπ     p
                               = 1 − u exp        = i 1 − u2 ,
                                               2
то для |u| < 1 получаем
                                                            4πJu
         g 0 (u + i0) = (Re g)0u (u,0) − i(Re g)0v (u,0) = √
                                                             1 − u2
Следовательно,

                                          12

Страницы