Применение конформных отображений в решении некоторых задач электро- и магнитостатики. Константинов Р.В. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

(Re g)
0
u
(u,0) =
0, |u| > 1,
4πJu
√
1 − u
2
, |u| < 1.
Отсюда получаем
Re g(u,0) =
(
const , |u| > 1,
const − 4πJ
p
1 − u
2
, |u| < 1.
(38)
Поскольку для определения векторного поля магнитной индукции
в области G
1
функцию f достаточно знать с точностью до неко-
торой константы, то в соотношениях (38) без ограничения общ-
ности считаем const = 0.
Итак, для определения гармонической в верхней полуплоско-
сти функции Re g получаем задачу Дирихле:
∆ (Re g(u,v)) = 0, v > 0,
Re g(u,0) =
(
0, |u| > 1,
−4πJ
p
1 − u
2
, |u| < 1.
(39)
Решение этой задачи дается формулой Пуассона (см. теорему 5
§ 29 [2]). Получаем
Re g(u,v) = −4Jv
1
Z
−1
√
1 − t
2
(t − u)
2
+ v
2
dt, v > 0. (40)
Пользуясь вычисленным при решении задачи 1 интегралом (18),
значение которого дается формулой (24), получаем
Re g(u,v) = 4πJ
v −
p
|1 − w
2
|cos
ψ(u,v) − φ(u,v)
2

,
где функции φ(u,v) и ψ(u,v) определены в формулах (22) и (23).
Таким образом, получаем вид магнитного потенциала в обла-
сти G
1
:
A(z) = 4πJ
Im h(z) − |z|cos
ψ(z) − φ(z)
2

,
где
13
                              
                               0,          |u| > 1,
             (Re g)0u (u,0) =     4πJu
                              √          , |u| < 1.
                                   1 − u2
Отсюда получаем
                      (
                         const ,                 |u| > 1,
         Re g(u,0) =                  p
                                              2
                                                            (38)
                         const − 4πJ 1 − u , |u| < 1.
Поскольку для определения векторного поля магнитной индукции
в области G1 функцию f достаточно знать с точностью до неко-
торой константы, то в соотношениях (38) без ограничения общ-
ности считаем const = 0.
   Итак, для определения гармонической в верхней полуплоско-
сти функции Re g получаем задачу Дирихле:
          
          
           ∆ (Re g(u,v)) = 0,    v > 0,
          
          
                            (                            (39)
                              0,            |u| > 1,
           Re g(u,0) =
          
                                   p
                               −4πJ 1 − u2 , |u| < 1.
Решение этой задачи дается формулой Пуассона (см. теорему 5
§ 29 [2]). Получаем
                            Z1 √
                                   1 − t2
           Re g(u,v) = −4Jv                  dt, v > 0. (40)
                              (t − u)2 + v 2
                            −1

Пользуясь вычисленным при решении задачи 1 интегралом (18),
значение которого дается формулой (24), получаем
                                                     
                         p
                                2
                                       ψ(u,v) − φ(u,v)
    Re g(u,v) = 4πJ v − |1 − w | cos                      ,
                                              2
где функции φ(u,v) и ψ(u,v) определены в формулах (22) и (23).
    Таким образом, получаем вид магнитного потенциала в обла-
сти G1 :
                                                  
                                        ψ(z) − φ(z)
         A(z) = 4πJ Im h(z) − |z| cos                  ,
                                             2
где

                                 13

Страницы