Применение конформных отображений в решении некоторых задач электро- и магнитостатики. Константинов Р.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Задача 3. На плоскости R
2
идеальный проводник заполняет
замкнутую область:
G
2
=
n
x
y
: x
2
+ y
2
≤ 1
o
,
как показано на рис. 5. Вектор намагниченности проводника
~
J
сонаправлен с осью ординат. В области G
1
= R
2
\G
2
проводники
отсутствуют. Требуется найти магнитное поле в области G
1
.
x
y
0
x
y
0
i
−i
−1 1
G
1
G
2
~
J
Рис. 6.
В области G
1
векторы напряженности магнитного поля
~
H
1
и
магнитной индукции
~
B
1
совпадают и удовлетворяют уравнениям
Максвелла (25), (26). Векторное поле
~
B
1
ищем в виде
~
B
1
= grad A,
где скалярная функция A: G
1
→ R имеет смысл магнитного по-
тенциала. При этом уравнение (26) автоматически выполняется,
а уравнение (25) превращается в уравнение Лапласа для A в обла-
сти G
1
(27).
Осталось определить, каким граничным условиям на границе
γ = ∂G
1
области G
1
должна удовлетворять функция A. Пусть
~
H
2
и
~
B
2
– векторы напряженности магнитного поля и магнитной
индукции в области G
2
соответственно. Тогда
~
B
2
=
~
H
2
+ 4π
~
J =
=
~
0. Следовательно,
~
H
2
= −4π
~
J.
Пусть ~n – единичный вектор внешней нормали к границе обла-
сти G
2
, а
~
t – единичный касательный вектор к границе области
G
2
, такие, что пара векторов
~
t,~n
правая. Граничные условия
для векторов напряженности магнитного поля и магнитной ин-
дукции записываются в виде (28), (29).
15
   Задача 3. На плоскости R2 идеальный проводник заполняет
замкнутую область:
                     n                 o
                        x     2 + y2 ≤ 1
                G2 =    y  : x             ,

как показано на рис. 5. Вектор намагниченности проводника J~
сонаправлен с осью ординат. В области G1 = R2 \G2 проводники
отсутствуют. Требуется найти магнитное поле в области G1 .
                                  y
                     G1
                                   i
                            G2
                                        J~

                      −1          0          1   x


                                 −i


                                 Рис. 6.
    В области G1 векторы напряженности магнитного поля H        ~1 и
магнитной индукции B   ~ 1 совпадают и удовлетворяют уравнениям
Максвелла (25), (26). Векторное поле B ~ 1 ищем в виде B
                                                       ~ 1 = grad A,
где скалярная функция A: G1 → R имеет смысл магнитного по-
тенциала. При этом уравнение (26) автоматически выполняется,
а уравнение (25) превращается в уравнение Лапласа для A в обла-
сти G1 (27).
    Осталось определить, каким граничным условиям на границе
γ = ∂G1 области G1 должна удовлетворять функция A. Пусть
~2 и B
H     ~ 2 – векторы напряженности магнитного поля и магнитной
индукции в области G2 соответственно. Тогда B     ~2 = H~ 2 + 4π J~ =
  ~                    ~
= 0. Следовательно, H2 = −4π J.  ~
    Пусть ~n – единичный вектор внешней нормали к границе обла-
сти G2 , а ~t – единичный касательный    вектор к границе области
G2 , такие, что пара векторов ~t,~n правая. Граничные условия
                                
для векторов напряженности магнитного поля и магнитной ин-
дукции записываются в виде (28), (29).

                                   15

Страницы