Применение конформных отображений в решении некоторых задач электро- и магнитостатики. Константинов Р.В. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Граница области G
1
представляет собой окружность с цен-
тром в нуле радиуса 1 вида γ =
e
iϕ
: ϕ ∈ [0,2π)
. На γ имеем
~n =
cos ϕ
sin ϕ
,
~
t =
sin ϕ
−cos ϕ
. Следовательно, соотношения (28),
(29) принимают вид
B
1n
=
∂A
∂x
cos ϕ +
∂A
∂y
sin ϕ |
γ
= B
2n
= 0, (41)
H
1t
=
∂A
∂x
sin ϕ −
∂A
∂y
cos ϕ
γ
= H
2t
= 4πJ cos ϕ. (42)
Введем в рассмотрение скалярную функцию F : G
1
→ R, гар-
моническую в G
1
и сопряженную гармонической функции A (см. [2],
§ 5, определение 5). Тогда комплекснозначная функция f(z) =
= A(x,y)+iF (x,y) регулярна в области G
1
, причем f
0
(z) = A
0
x
(x,y)−
− iA
0
y
(x,y). В силу соотношений (41), (42) получаем
f
0
γ
e
iϕ
= 4πiJ cos ϕ. (43)
Рассмотрим конформное отображение области G
1
на верхнюю
полуплоскость, которое дается дробно-линейной функцией:
h(z) =
z −1
z + 1
i .
В силу теоремы 1 из § 29 [2] получаем, что функция f предста-
вима в виде f(z) = g(h(z)) для всех z ∈ G
1
, где функция g регу-
лярна в верхней полуплоскости. Определим граничные условия
для функции g на границе верхней полуплоскости Γ = h(γ). Так
как
f
0
(z) = g
0
(w)h
0
(z) = g
0
(w)
2i
(z + 1)
2
,
где w = u + iv = h(z), то из соотношения (43) получаем
g
0
(w)
Γ
h
0
e
iϕ
e
iϕ
= 4πiJ cos ϕ. (44)
Так как w|
Γ
= u + i0 = h(e
iϕ
) = −tg
ϕ
2
, а
h
0
e
iϕ
e
iϕ
=
i
1 + cos ϕ
,
то соотношение (44) перепишется в виде
16
    Граница области G1 представляет      iϕ собой окружность с цен-
 тромв нулерадиуса   1  вида γ   =    e : ϕ ∈ [0,2π) . На γ имеем
        cos ϕ ~           sin ϕ
~n =           ,t=                . Следовательно, соотношения (28),
        sin ϕ          − cos ϕ
 (29) принимают вид
                  ∂A           ∂A
           B1n =      cos ϕ +       sin ϕ |γ = B2n = 0,           (41)
                  ∂x            ∂y
                  ∂A            ∂A
            H1t =     sin ϕ −       cos ϕ = H2t = 4πJ cos ϕ.      (42)
                   ∂x           ∂y         γ

    Введем в рассмотрение скалярную функцию F : G1 → R, гар-
моническую в G1 и сопряженную гармонической функции A (см. [2],
§ 5, определение 5). Тогда комплекснозначная функция f (z) =
= A(x,y)+iF (x,y) регулярна в области G1 , причем f 0 (z) = A0x (x,y)−
− iA0y (x,y). В силу соотношений (41), (42) получаем
                        f0   γ
                                 eiϕ = 4πiJ cos ϕ.               (43)
   Рассмотрим конформное отображение области G1 на верхнюю
полуплоскость, которое дается дробно-линейной функцией:
                                       z−1
                              h(z) =           i.
                                       z+1
В силу теоремы 1 из § 29 [2] получаем, что функция f предста-
вима в виде f (z) = g(h(z)) для всех z ∈ G1 , где функция g регу-
лярна в верхней полуплоскости. Определим граничные условия
для функции g на границе верхней полуплоскости Γ = h(γ). Так
как
                                                       2i
                f 0 (z) = g 0 (w)h0 (z) = g 0 (w)          ,
                                                  (z + 1)2
где w = u + iv = h(z), то из соотношения (43) получаем
                   g 0 (w) Γ h0 eiϕ eiϕ = 4πiJ cos ϕ.
                                     
                                                             (44)
                                             ϕ
Так как w|Γ = u + i0 = h(eiϕ ) = − tg , а
                                              2
                                               i
                         h0 eiϕ eiϕ =
                                
                                                     ,
                                         1 + cos ϕ
то соотношение (44) перепишется в виде

                                      16

Страницы