Применение конформных отображений в решении некоторых задач электро- и магнитостатики. Константинов Р.В. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

В силу леммы 2 § 13 [2] находим
res
u+iv
L =
u + iv
1 + (u + iv)
2
1
2iv
, res
i
L =
i
(i − u)
2
+ v
2
1
2i
.
Подставляя полученные значения вычетов в (49), получаем
I = π
u + iv
(1 + (u + iv)
2
)v
+
i
(i − u)
2
+ v
2
=
=
π
u + iv −i
u + iv
(i + u + iv)v
−
i
i − u + iv
=
= −
π(iu − u
2
− iuv)
(u + iv −i)((v + 1)
2
+ u
2
)v
=
πu
(u
2
+ (v + 1)
2
)v
.
Следовательно, из (47) получаем для любых u ∈ R и v > 0:
Re g(u,v) =
8πJu
u
2
+ (v + 1)
2
.
Так как u + iv = h(z) =
z−1
z+1
i для z ∈ G
1
, то
u = −Im
z −1
z + 1
, v = Re
z −1
z + 1
,
то получаем вид магнитного потенциала в области G
1
:
A(z) = −8πJ
Im
z−1
z+1
z−1
z+1
2
+ 1 + 2 Re
z−1
z+1
.
На рис. 7 изображены силовые линии магнитного поля в обла-
сти G
1
вида A(z) = const .
18
В силу леммы 2 § 13 [2] находим
                                                            
                  u + iv        1                      i         1
    res L =                        , res L =                       .
   u+iv        1 + (u + iv)2 2iv       i         (i − u)2 + v 2 2i
Подставляя полученные значения вычетов в (49), получаем
                                         
             u + iv               i
I=π                      +                  =
        (1 + (u + iv)2 )v (i − u)2 + v 2
                                                      
                   π           u + iv             i
            =                             −               =
               u + iv − i (i + u + iv)v i − u + iv
                           π(iu − u2 − iuv)                  πu
                =−                                  = 2                .
                     (u + iv − i)((v + 1)2 + u2 )v    (u + (v + 1)2 )v
Следовательно, из (47) получаем для любых u ∈ R и v > 0:
                                       8πJu
                      Re g(u,v) = 2              .
                                   u + (v + 1)2
                           z−1
Так как u + iv = h(z) =    z+1 i   для z ∈ G1 , то
                        z−1           z−1
                   u = − Im  , v = Re      ,
                        z+1           z+1
то получаем вид магнитного потенциала в области G1 :
                                             Im z−1
                                                z+1
                A(z) = −8πJ              2                    .
                                   z−1
                                   z+1       + 1 + 2 Re z−1
                                                        z+1
   На рис. 7 изображены силовые линии магнитного поля в обла-
сти G1 вида A(z) = const .




                                     18

Страницы