Применение конформных отображений в решении некоторых задач электро- и магнитостатики. Константинов Р.В. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

g
0
(u + i0)
u=− tg
ϕ
2
= 4πJ cos ϕ(1 + cos ϕ) = 8πJ
1 − u
2
1 + u
2
.
Следовательно, для любого u ∈ R получаем
(Re g)
0
u
(u,0) = 8πJ
1 − u
2
1 + u
2
,
откуда
Re g(u,0) = 8πJ
u
1 + u
2
+ const . (45)
Поскольку для определения векторного поля магнитной индукции
в области G
1
функцию f достаточно знать с точностью до некото-
рой константы, то в соотношении (45) без ограничения общности
считаем const = 0.
Итак, для определения гармонической в верхней полуплоско-
сти функции Re g получаем задачу Дирихле:
∆ (Re g(u,v)) = 0, v > 0,
Re g(u,0) = 8πJ
u
1 + u
2
.
(46)
Решение этой задачи дается формулой Пуассона (см. теорему 5
§ 29 [2]). Получаем
Re g(u,v) = 8Jv
+∞
Z
−∞
t
(1 + t
2
)((t − u)
2
+ v
2
)
dt, v > 0. (47)
Нашей целью теперь является вычисление интеграла
I =
+∞
Z
−∞
t
(1 + t
2
)((t − u)
2
+ v
2
)
dt, (48)
для произвольных u ∈ R и v > 0. Для вычисления этого ин-
теграла воспользуемся теорией вычетов. Введем комплексную
функцию:
L(z) =
z
(1 + z
2
)((z − u)
2
+ v
2
)
.
Тогда в силу формулы (21) из § 13 [2] получаем
I = 2πi
res
u+iv
L + res
i
L
. (49)
17
                                                                1 − u2
     g 0 (u + i0)   u=− tg   ϕ   = 4πJ cos ϕ(1 + cos ϕ) = 8πJ          .
                             2                                  1 + u2
Следовательно, для любого u ∈ R получаем
                                                1 − u2
                         (Re g)0u (u,0) = 8πJ          ,
                                                1 + u2
откуда                             u
                     Re g(u,0) = 8πJ    + const .         (45)
                                 1 + u2
Поскольку для определения векторного поля магнитной индукции
в области G1 функцию f достаточно знать с точностью до некото-
рой константы, то в соотношении (45) без ограничения общности
считаем const = 0.
    Итак, для определения гармонической в верхней полуплоско-
сти функции Re g получаем задачу Дирихле:
                 
                  ∆ (Re g(u,v)) = 0,    v > 0,
                 
                 
                                                            (46)
                                           u
                     
                     Re g(u,0) = 8πJ              .
                                          1 + u2
Решение этой задачи дается формулой Пуассона (см. теорему 5
§ 29 [2]). Получаем
                    +∞
                    Z
                                   t
    Re g(u,v) = 8Jv                              dt, v > 0. (47)
                       (1 + t )((t − u)2 + v 2 )
                             2
                       −∞
   Нашей целью теперь является вычисление интеграла
                  +∞
                  Z
                                 t
              I=                               dt,                         (48)
                     (1 + t )((t − u)2 + v 2 )
                           2
                         −∞
для произвольных u ∈ R и v > 0. Для вычисления этого ин-
теграла воспользуемся теорией вычетов. Введем комплексную
функцию:                            z
                L(z) =                             .
                       (1 + z 2 )((z − u)2 + v 2 )
Тогда в силу формулы (21) из § 13 [2] получаем
                                           
                  I = 2πi res L + res L .             (49)
                                      u+iv      i


                                        17

Страницы