Применение конформных отображений в решении некоторых задач электро- и магнитостатики. Константинов Р.В. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

G
2
, такие, что пара векторов
~
t,~n
правая. Тогда граничные
условия для векторов напряженности магнитного поля и магнит-
ной индукции записываются в виде (см. [1], § 60):
B
1n
=
~
B
1
,~n
γ
= B
2n
=
~
B
2
,~n
γ
, (28)
H
1t
=
~
H
1
,
~
t
γ
= H
2t
=
~
H
2
,
~
t
γ
. (29)
Заметим, что граница γ = γ
0
S
γ
+
S
γ
−
, где
γ
0
=
n
x
0
: |x| > 0
o
, γ
±
=
±0
y
: y ∈ [0,1]
.
На γ
0
имеем ~n =
0
1
,
~
t =
1
0
. Следовательно, соотношения
(28), (29) на γ
0
принимают вид
B
1n
=
∂A
∂y
γ
0
= B
2n
= 0, (30)
H
1t
=
∂A
∂x
γ
0
= H
2t
= 0. (31)
На γ
±
имеем ~n =
±1
0
,
~
t =
0
∓1
. Следовательно, соотно-
шения (28), (29) на γ
±
принимают вид
B
1n
= ±
∂A
∂x
γ
±
= B
2n
= 0, (32)
H
1t
= ∓
∂A
∂y
γ
±
= H
2t
= ±4πJ. (33)
Введем в рассмотрение скалярную функцию F : G
1
→ R, гар-
моническую в G
1
и сопряженную гармонической функции A (см. [2],
§ 5, определение 5). Тогда комплекснозначная функция f(z) =
= A(x,y)+iF (x,y) регулярна в области G
1
, причем f
0
(z) = A
0
x
(x,y)−
− iA
0
y
(x,y). В силу соотношений (30), (31), (32), (33) получаем
f
0
γ
0
= 0, (34)
f
0
γ
±
= 4πiJ. (35)
11
G2 , такие, что пара векторов ~t,~n правая. Тогда граничные
                                     
условия для векторов напряженности магнитного поля и магнит-
ной индукции записываются в виде (см. [1], § 60):
                                                    
                B1n = B  ~ 1 ,~n     = B2n = B ~ 2 ,~n       ,       (28)
                                   γ                      γ
                                                   
                 H1t = H  ~ 1 ,~t    = H2t = H ~ 2 ,~t     .         (29)
                                   γ                     γ
                                      S    S
    Заметим, что граница γ = γ0 γ+ γ− , где
                                                               
            n x               o             ±0
       γ0 =        : |x| > 0 , γ± =                    : y ∈ [0,1] .
                0                              y
                                   
                        0 ~          1
    На γ0 имеем ~n =        ,t=         . Следовательно, соотношения
                        1            0
(28), (29) на γ0 принимают вид
                                 ∂A
                      B1n =                    = B2n = 0,           (30)
                                 ∂y       γ0
                           ∂A
                       H1t =     = H2t = 0.               (31)
                           ∂x γ0
                                
                       ±1 ~        0
   На γ± имеем ~n =        ,t=        . Следовательно, соотно-
                        0         ∓1
шения (28), (29) на γ± принимают вид
                             ∂A
                   B1n = ±                     = B2n = 0,           (32)
                             ∂x       γ±
                             ∂A
                   H1t = ∓                     = H2t = ±4πJ.        (33)
                             ∂y       γ±

    Введем в рассмотрение скалярную функцию F : G1 → R, гар-
моническую в G1 и сопряженную гармонической функции A (см. [2],
§ 5, определение 5). Тогда комплекснозначная функция f (z) =
= A(x,y)+iF (x,y) регулярна в области G1 , причем f 0 (z) = A0x (x,y)−
− iA0y (x,y). В силу соотношений (30), (31), (32), (33) получаем
                               f0    γ0
                                          = 0,                      (34)
                                 0
                             f       γ±
                                          = 4πiJ.                   (35)

                                          11

Страницы