Математические методы в экономике. Копылов Г.Н - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

13
Ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò. Ïóñòü ëèíèÿ æåëåçíîé äîðîãè
ñîâïàäàåò ñ îñüþ àáñöèññ. Ïîëîæåíèå ãîðîäîâ îïðåäåëÿåòñÿ êî-
îðäèíàòàìè òî÷åê À è Â. À (à
1
, à
2
), Â (b
1
, b
2
). Òîãäà êîîðäèíàòû
òî÷êè Ñ, ÿâëÿþùåéñÿ ñåðåäèíîé îòðåçêà ÀÂ, îïðåäåëÿþòñÿ ïî
ôîðìóëàì:
()
2
111
/bас
+=
,
()
2
222
/bас
+=
. (1)
Óðàâíåíèå ïðÿìîé ÀÂ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:
(õ — à
1
)(b
2
— à
2
) = (ó — a
2
)(b
1
— à
1
).
Íàéäåì k — óãëîâîé êîýôôèöèåíò ýòîé ïðÿìîé.
))(k
1122
a-(ba-b=
.
Íàéäåì k
1
— óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé CS. Äëÿ âçàèì-
íî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïðÿìûõ
k ⋅ k
1
= — 1.
Îòñþäà
)
)(k
2211
a-(ba-b=
1
. (2)
Åñëè ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó (ñ
1
, ñ
2
), à åå óãëîâîé êî-
ýôôèöèåíò ðàâåí k
1
, òî åå óðàâíåíèå ìîæíî çàäàòü â âèäå
ó = ñ
2
+ k
1
(õ — ñ
1
). (3)
Òàêèì îáðàçîì, ïðÿìàÿ CS, òî÷êè êîòîðîé ðàâíîóäàëåíû
îò òî÷åê À è Â, îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì (3). Äëÿ íàõîæäåíèÿ
òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñ îñüþ àáñöèññ ïîäñòàâèì ó = 0. Íàéäåííîå
çíà÷åíèå õ çàäàåò ïîëîæåíèå ñòàíöèè S â ìîäåëè 1. Ëåãêî íàéòè
ðàññòîÿíèå äî êàæäîãî ãîðîäà. Äëèíû îòðåçêîâ AS è BS âû÷èñëÿ-
þòñÿ ïî ôîðìóëàì:
2
2
2
1
)ya()xa(AS −+−=
=
()
ax a
1
2
2
2
−+
,
2
2
2
1
b)xb(BS +−=
.
Ïðè ÷èñëåííîì ðåøåíèè ïðèìåðà æåëàòåëüíî ïðîâåðèòü,
÷òî ÀS = BS.
 ðÿäå ñëó÷àåâ ýòà ìîäåëü äàåò âïîëíå óäîâëåòâîðèòåëüíîå
ðåøåíèå, íî ìîæåò äàòü è ÿâíî íåâûãîäíîå (ñì. ðèñ. 3). Ïî÷åìó
ýòî ïðîèñõîäèò? Îñíîâíûì êðèòåðèåì ðåøåíèÿ áûëî ðàâåíñòâî
ðàññòîÿíèé îò äàííûõ ãîðîäîâ. Ïñèõîëîãè÷åñêè ýòî îïðàâäàíî,
òàê êàê óäîâëåòâîðÿåò ïðåòåíçèÿì äâóõ ñòîðîí â ðàâíîé ñòåïåíè,
íî â ýêîíîìè÷åñêèõ çàäà÷àõ âàæíî ìèíèìèçèðîâàòü ðàñõîäû (èëè
ìàêñèìèçèðîâàòü äîõîäû). Â äàííîì ïðèìåðå (ðèñ.3) ìîæíî âè-
äåòü, ÷òî ðåøåíèå, ïîëó÷åííîå â ðàìêàõ ìîäåëè, íå ÿâëÿåòñÿ
âûãîäíûì íè äëÿ îäíîé ñòîðîíû.
    Ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò. Ïóñòü ëèíèÿ æåëåçíîé äîðîãè
ñîâïàäàåò ñ îñüþ àáñöèññ. Ïîëîæåíèå ãîðîäîâ îïðåäåëÿåòñÿ êî-
îðäèíàòàìè òî÷åê À è Â. À (à1, à2),  (b1, b2). Òîãäà êîîðäèíàòû
òî÷êè Ñ, ÿâëÿþùåéñÿ ñåðåäèíîé îòðåçêà ÀÂ, îïðåäåëÿþòñÿ ïî
ôîðìóëàì:
                с1 = (а1 + b1 ) / 2 , с2 = (а2 + b2 ) / 2 .   (1)
    Óðàâíåíèå ïðÿìîé ÀÂ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:
              (õ — à1 )(b2 — à2 ) = (ó — a2 )(b1 — à1 ).
    Íàéäåì k— óãëîâîé êîýôôèöèåíò ýòîé ïðÿìîé.
                      k = (b2 - a2 ) (b1 - a1 ) .
     Íàéäåì k1 — óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé CS. Äëÿ âçàèì-
íî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïðÿìûõ
                           k ⋅ k1 = — 1.
Îòñþäà
                  k1 = (b1 - a1 ) (b2 - a2 ).                (2)
     Åñëè ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó (ñ1, ñ2), à åå óãëîâîé êî-
ýôôèöèåíò ðàâåí k1, òî åå óðàâíåíèå ìîæíî çàäàòü â âèäå
                       ó = ñ2 + k1(õ — ñ1).                  (3)
     Òàêèì îáðàçîì, ïðÿìàÿ CS, òî÷êè êîòîðîé ðàâíîóäàëåíû
îò òî÷åê À è Â, îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì (3). Äëÿ íàõîæäåíèÿ
òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñ îñüþ àáñöèññ ïîäñòàâèì ó = 0. Íàéäåííîå
çíà÷åíèå õ çàäàåò ïîëîæåíèå ñòàíöèè S â ìîäåëè 1. Ëåãêî íàéòè
ðàññòîÿíèå äî êàæäîãî ãîðîäà. Äëèíû îòðåçêîâ AS è BS âû÷èñëÿ-
þòñÿ ïî ôîðìóëàì:
                                                                    2
AS = ( a1 − x)2 + ( a2 − y)2 = ( a1 − x) 2 + a2 , BS = ( b1 − x)2 + b2 .
                                             2

      Ïðè ÷èñëåííîì ðåøåíèè ïðèìåðà æåëàòåëüíî ïðîâåðèòü,
÷òî ÀS = BS.
       ðÿäå ñëó÷àåâ ýòà ìîäåëü äàåò âïîëíå óäîâëåòâîðèòåëüíîå
ðåøåíèå, íî ìîæåò äàòü è ÿâíî íåâûãîäíîå (ñì. ðèñ. 3). Ïî÷åìó
ýòî ïðîèñõîäèò? Îñíîâíûì êðèòåðèåì ðåøåíèÿ áûëî ðàâåíñòâî
ðàññòîÿíèé îò äàííûõ ãîðîäîâ. Ïñèõîëîãè÷åñêè ýòî îïðàâäàíî,
òàê êàê óäîâëåòâîðÿåò ïðåòåíçèÿì äâóõ ñòîðîí â ðàâíîé ñòåïåíè,
íî â ýêîíîìè÷åñêèõ çàäà÷àõ âàæíî ìèíèìèçèðîâàòü ðàñõîäû (èëè
ìàêñèìèçèðîâàòü äîõîäû). Â äàííîì ïðèìåðå (ðèñ.3) ìîæíî âè-
äåòü, ÷òî ðåøåíèå, ïîëó÷åííîå â ðàìêàõ ìîäåëè, íå ÿâëÿåòñÿ
âûãîäíûì íè äëÿ îäíîé ñòîðîíû.



                                   13

Страницы