Математические методы в экономике. Копылов Г.Н - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

14
°
В
°
А
L
S
Ðèñ. 3.
Ìîäåëü 2. Âûáåðåì ìåñòî ñòðîèòåëüñòâà ñòàíöèè òàê, ÷òîáû
ñóììàðíàÿ äëèíà äîðîã îò ñòàíöèè äî îáîèõ ãîðîäîâ áûëà ìèíè-
ìàëüíîé.
Âîçíèêàåò ñëåäóþùàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàäà÷à.
Íà ïðÿìîé L âûáðàòü òî÷êó S òàê, ÷òîáû âåëè÷èíà ÀS + ÂS
èìåëà íàèìåíüøåå çíà÷åíèå.
А°
°B
L
'
S S’
А
·°
Ðèñ. 4.
Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è îäíó èç äàííûõ òî÷åê À èëè Â
(íàïðèìåð, À) îòîáðàçèì ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé L.
Ïîëó÷åííóþ òî÷êó À´
ñîåäèíèì ñ òî÷êîé  (ñì. ðèñ.4). Òî÷êó S
âûáåðåì íà ïåðåñå÷åíèè ïðÿìîé L ñ ïðÿìîé À´B. Î÷åâèäíî, ÷òî
ýòî ñîîòâåòñòâóåò ìèíèìàëüíîé âåëè÷èíå ÀS + ÂS, òàê êàê äëè-
íà ïóòè ÀS + ÂS ðàâíà äëèíå îòðåçêà À´Â, à ëþáàÿ äðóãàÿ òî÷êà S´
îïðåäåëÿåò ëîìàíóþ À´S´Â, äëèíà êîòîðîé áîëüøå äëèíû îòðåçêà
À´Â.
Íàïðèìåð, çàäàíû òî÷êè À(à
1
, à
2
) è Â(b
1
, b
2
). Òîãäà À´ èìå-
åò êîîðäèíàòû (à
1
, -à
2
), Íàéäåì óðàâíåíèå ïðÿìîé À´Â:
2
2
2
1
1
1
ab
ay
ab
ax
+
+
=
−
−
.
Ïîäñòàâèâ â ïîñëåäíåå óðàâíåíèå çíà÷åíèå ó = 0, íàéäåì
çíà÷åíèå õ.
)ab()baba(x
221221
++=
.
                                  °В


                             °А

                    L                                 S
                                  Ðèñ. 3.
Ìîäåëü 2. Âûáåðåì ìåñòî ñòðîèòåëüñòâà ñòàíöèè òàê, ÷òîáû
ñóììàðíàÿ äëèíà äîðîã îò ñòàíöèè äî îáîèõ ãîðîäîâ áûëà ìèíè-
ìàëüíîé.
     Âîçíèêàåò ñëåäóþùàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàäà÷à.
     Íà ïðÿìîé L âûáðàòü òî÷êó S òàê, ÷òîáû âåëè÷èíà ÀS + ÂS
èìåëà íàèìåíüøåå çíà÷åíèå.
                                            °B

                             А°



                        L              'S        S’

                            А·°
                             Ðèñ. 4.
     Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è îäíó èç äàííûõ òî÷åê À èëè Â
(íàïðèìåð, À) îòîáðàçèì ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé L.
Ïîëó÷åííóþ òî÷êó À´ ñîåäèíèì ñ òî÷êîé  (ñì. ðèñ.4). Òî÷êó S
âûáåðåì íà ïåðåñå÷åíèè ïðÿìîé L ñ ïðÿìîé À´B. Î÷åâèäíî, ÷òî
ýòî ñîîòâåòñòâóåò ìèíèìàëüíîé âåëè÷èíå ÀS + ÂS, òàê êàê äëè-
íà ïóòè ÀS + ÂS ðàâíà äëèíå îòðåçêà À´Â, à ëþáàÿ äðóãàÿ òî÷êà S´
îïðåäåëÿåò ëîìàíóþ À´S´Â, äëèíà êîòîðîé áîëüøå äëèíû îòðåçêà
À´Â.
     Íàïðèìåð, çàäàíû òî÷êè À(à1, à2) è Â(b1, b2). Òîãäà À´ èìå-
åò êîîðäèíàòû (à1, -à2), Íàéäåì óðàâíåíèå ïðÿìîé À´Â:
                            x − a1   y + a2
                                   =        .
                            b1 − a1 b2 + a2
     Ïîäñòàâèâ â ïîñëåäíåå óðàâíåíèå çíà÷åíèå ó = 0, íàéäåì
çíà÷åíèå õ.
                  x = ( a1 b2 + a2 b1 ) ( b2 + a 2 ) .

                                       14

Страницы