Математические методы в экономике. Копылов Г.Н - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

15
Òî÷êà
));ab()baba((S 0
221221
++
(4)
îïðåäåëÿåò ìåñòî ðàñïîëîæåíèÿ ñòàíöèè.
Ìîäåëü 3.  ðÿäå ñëó÷àåâ íåâûãîäíî âåñòè ê ñòàíöèè äâå îòäåëü-
íûå äîðîãè. Ìîæíî âûáðàòü ãäå-ëèáî ïåðåêðåñòîê P, ïðîâåñòè äî-
ðîãè èç À è Â ê ïåðåêðåñòêó P, à çàòåì îò ïåðåêðåñòêà P ê ñòàí-
öèè S (ñì. ðèñ. 5).
А
°
°
B
60
°
60
°
L
А
1
S В
1
P
Ðèñ. 5.
Ïîëó÷èëè ñëåäóþùóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ çàäà÷ó.
Îïðåäåëèòü ðàñïîëîæåíèå òî÷åê P è S òàê, ÷òîáû S ëåæàëà
íà ïðÿìîé L è ñóììà äëèí îòðåçêîâ ÀÐ + ÂÐ + ÐS áûëà áû
ìèíèìàëüíîé.
Êàê â ýòîì ñëó÷àå âûáðàòü P è S? Î÷åâèäíî, ÷òî PS ⊥ L
ëèíèè æåëåçíîé äîðîãè. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè Ð íå ñîâïàäà-
åò íè ñ À, íè ñ Â, íè ñ S, òî óãëû APB, APS è BPS ðàâíû 120°.
Ñëåäîâàòåëüíî, óãëû A
1
AP è B
1
BP ðàâíû 60°.
Ïîýòîìó, äëÿ íà-
õîæäåíèÿ P íàäî îïóñòèòü ïåðïåíäèêóëÿðû ÀÀ
1
è ÂÂ
1
èç òî÷åê À
è  íà ëèíèþ L è ïðîâåñòè ïðÿìûå èç òî÷åê À è  ïîä óãëîì 60°
ê îòðåçêàì ÀÀ
1
è ÂÂ
1
âíóòðü âåðòèêàëüíîé ïîëîñû, çàêëþ÷åííîé
ìåæäó íèìè. Òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ
îáîçíà÷èì áóêâîé Ð. Äëÿ
òîãî, ÷òîáû îïðåäåëèòü êîîðäèíàòû ýòîé òî÷êè, ïðîâåäåì ñëå-
äóþùèå âûêëàäêè. Ïóñòü äàíû òî÷êè À(à
1
, à
2
) è Â(b
1
, b
2
). Áóäåì
ñ÷èòàòü, ÷òî à
1
< b
1
.
Óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé ÀÐ, ïðîõîäÿ-
ùåé ÷åðåç òî÷êó À ïîä óãëîì 60° ê ÀÀ
1
, ðàâåí tg150° = −13, à
óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé ÐÂ, ïðîõîäÿùåé ïîä óãëîì 60° ê
ÂÂ
1
, ðàâåí tg30° =
−13
(ñì. ðèñ. 5). Êîîðäèíàòû òî÷êè Ð(õ,ó)
îïðåäåëÿþòñÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé:
Òî÷êà
                    S(( a1b2 + a2 b1 ) ( b2 + a2 ); 0)      (4)
îïðåäåëÿåò ìåñòî ðàñïîëîæåíèÿ ñòàíöèè.
Ìîäåëü 3.  ðÿäå ñëó÷àåâ íåâûãîäíî âåñòè ê ñòàíöèè äâå îòäåëü-
íûå äîðîãè. Ìîæíî âûáðàòü ãäå-ëèáî ïåðåêðåñòîê P, ïðîâåñòè äî-
ðîãè èç À è Â ê ïåðåêðåñòêó P, à çàòåì îò ïåðåêðåñòêà P ê ñòàí-
öèè S (ñì. ðèñ. 5).
                                          °B
                        А°            60 °
                             60 ° P




                    L        А1 S        В1


                              Ðèñ. 5.
     Ïîëó÷èëè ñëåäóþùóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ çàäà÷ó.
     Îïðåäåëèòü ðàñïîëîæåíèå òî÷åê P è S òàê, ÷òîáû S ëåæàëà
íà ïðÿìîé L è ñóììà äëèí îòðåçêîâ ÀÐ + ÂÐ + ÐS áûëà áû
ìèíèìàëüíîé.
     Êàê â ýòîì ñëó÷àå âûáðàòü P è S? Î÷åâèäíî, ÷òî PS ⊥ L
ëèíèè æåëåçíîé äîðîãè. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè Ð íå ñîâïàäà-
åò íè ñ À, íè ñ Â, íè ñ S, òî óãëû APB, APS è BPS ðàâíû 120°.
Ñëåäîâàòåëüíî, óãëû A1AP è B1BP ðàâíû 60°. Ïîýòîìó, äëÿ íà-
õîæäåíèÿ P íàäî îïóñòèòü ïåðïåíäèêóëÿðû ÀÀ1 è ÂÂ1 èç òî÷åê À
è  íà ëèíèþ L è ïðîâåñòè ïðÿìûå èç òî÷åê À è  ïîä óãëîì 60°
ê îòðåçêàì ÀÀ1 è ÂÂ1 âíóòðü âåðòèêàëüíîé ïîëîñû, çàêëþ÷åííîé
ìåæäó íèìè. Òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ îáîçíà÷èì áóêâîé Ð. Äëÿ
òîãî, ÷òîáû îïðåäåëèòü êîîðäèíàòû ýòîé òî÷êè, ïðîâåäåì ñëå-
äóþùèå âûêëàäêè. Ïóñòü äàíû òî÷êè À(à1, à2) è Â(b1, b2). Áóäåì
ñ÷èòàòü, ÷òî à1 < b1. Óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé ÀÐ, ïðîõîäÿ-
ùåé ÷åðåç òî÷êó À ïîä óãëîì 60° ê ÀÀ1, ðàâåí tg150° = −1 3 , à
óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé ÐÂ, ïðîõîäÿùåé ïîä óãëîì 60° ê
ÂÂ1, ðàâåí tg30° = −1 3 (ñì. ðèñ. 5). Êîîðäèíàòû òî÷êè Ð(õ,ó)
îïðåäåëÿþòñÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé:



                                    15

Страницы