Математические методы в экономике. Копылов Г.Н - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

53
Çàäàòü ïëàí ïåðåâîçîê ìîæíî ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû Õ ={õ
ij
},
ãäå õ
ij
— êîëè÷åñòâî åäèíèö òîâàðà, êîòîðîå ïëàíèðóåòñÿ ïåðå-
âåçòè èç ïóíêòà ïðîèçâîäñòâà i â ïóíêò ïîòðåáëåíèÿ j.
Êàêèì îãðàíè÷åíèÿì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ýòè ïåðåìåí-
íûå?
Èç óñëîâèÿ ÿñíî, ÷òî
õ
ij
≥ 0 ïðè ëþáûõ i, j.
Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî ïåðåâîçêè, ïðîèçâîäèìûå èç 1-ãî ïóí-
êòà, â ñóììå ñîñòàâëÿþò âåëè÷èíó à
1
, òî åñòü
õ
11
+ õ
12
+
õ
13
+ ... + õ
1n
= à
1
.
Àíàëîãè÷íîå ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî äëÿ êàæäîãî ïóíêòà
ïðîèçâîäñòâà:
õ
i1
+ õ
i2
+
õ
i3
+
.
... + õ
in
— îáùåå êîëè÷åñòâî òîâàðà, êîòîðîå
áóäåò âûâåçåíî èç i -ãî ïóíêòà.
ij
x
a
i
im
j
n
=
∑
==
1
12
; , , ..., .
õ
1j
+ õ
2j
+
õ
3j
+
.
... + õ
mj
— îáùåå êîëè÷åñòâî òîâàðà, êîòîðîå
íåîáõîäèìî ïðèâåçòè â ïóíêò j.
ij
x
b
j
jn
i
m
=
∑
=
1
12;
= , , ... , .
Òàê êàê ñòîèìîñòü ïåðåâîçêè ëèíåéíî çàâèñèò îò êîëè÷å-
ñòâà ïåðåâîçèìîãî òîâàðà, òî ôóíêöèÿ èçäåðæåê îïðåäåëÿåòñÿ
êàê L = c
11
õ
11
+ c
12
õ
12
+
c
13
õ
13
+
.
.. + c
mn
õ
mn
.
L
=
ij
j
n
i
m
ij
cx
==
∑∑
11
.
Öåëåâóþ ôóíêöèþ íåîáõîäèìî ìèíèìèçèðîâàòü.
Îêîí÷àòåëüíî íàøà ìîäåëü âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Ìèíèìèçèðîâàòü
L
i
j
ij ij
cx
=
∑
,
ïðè ñëåäóþùèõ îãðàíè÷åíèÿõ
ij
j
n
x
=
∑
1
=
a
i
(
i =
1
,
2
, ..., m
);
ij
i
m
x
=
∑
1
=
b
j
(
j =
1
,
2
, ..., n
);
(2)
х
i
j
≥
0
,
(
i =
1
,
2
,
...
,
m
;
j
=
1
,
2
,
...
,
n
)
.
(3)
Èìååò ëè çàäà÷à ðåøåíèå?  êàêîì ñëó÷àå?
      Çàäàòü ïëàí ïåðåâîçîê ìîæíî ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû Õ = {õij},
ãäå õij — êîëè÷åñòâî åäèíèö òîâàðà, êîòîðîå ïëàíèðóåòñÿ ïåðå-
âåçòè èç ïóíêòà ïðîèçâîäñòâà i â ïóíêò ïîòðåáëåíèÿ j.
      Êàêèì îãðàíè÷åíèÿì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ýòè ïåðåìåí-
íûå?
      Èç óñëîâèÿ ÿñíî, ÷òî
                             õij ≥ 0 ïðè ëþáûõ i, j.
      Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî ïåðåâîçêè, ïðîèçâîäèìûå èç 1-ãî ïóí-
êòà, â ñóììå ñîñòàâëÿþò âåëè÷èíó à1, òî åñòü
                      õ11 + õ12 + õ13 + ... + õ1n = à1.
      Àíàëîãè÷íîå ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî äëÿ êàæäîãî ïóíêòà
ïðîèçâîäñòâà:
      õi1 + õi2 + õi3 +. ... + õin — îáùåå êîëè÷åñòâî òîâàðà, êîòîðîå
áóäåò âûâåçåíî èç i -ãî ïóíêòà.
                    n
                   ∑ x ij = ai ;              i = 1, 2, ..., m.
                   j =1
    õ1j + õ2j + õ3j +.... + õmj — îáùåå êîëè÷åñòâî òîâàðà, êîòîðîå
íåîáõîäèìî ïðèâåçòè â ïóíêò j.
                   m
                   ∑ x ij = b ;           j = 1, 2, ... , n.
                   i =1      j
     Òàê êàê ñòîèìîñòü ïåðåâîçêè ëèíåéíî çàâèñèò îò êîëè÷å-
ñòâà ïåðåâîçèìîãî òîâàðà, òî ôóíêöèÿ èçäåðæåê îïðåäåëÿåòñÿ
êàê L = c11õ11 + c12õ12 + c13õ13 +... + cmnõmn .
                                    m     n

                               L=   ∑ ∑c x
                                    i =1 j =1
                                                 ij   ij   .
Öåëåâóþ ôóíêöèþ íåîáõîäèìî ìèíèìèçèðîâàòü.
     Îêîí÷àòåëüíî íàøà ìîäåëü âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
     Ìèíèìèçèðîâàòü
                     L = ∑ c ij x ij
                          i, j
ïðè ñëåäóþùèõ îãðàíè÷åíèÿõ
                    n

                  ∑ x = ai (i = 1, 2, ..., m);
                          ij
                   j =1
                    m                                             (2)
                   ∑ x = bj (j = 1, 2, ..., n);
                          ij
                   i =1
           хij ≥ 0, (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n).         (3)
     Èìååò ëè çàäà÷à ðåøåíèå?  êàêîì ñëó÷àå?


                                         53

Страницы