Математические методы в экономике. Копылов Г.Н - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

54
Íåîáõîäèìî ìèíèìèçèðîâàòü ëèíåéíóþ ôóíêöèþ (1) ïðè
ëèíåéíûõ îãðàíè÷åíèÿõ (2), (3).  îáùåì ñëó÷àå ìíîæåñòâî äîïó-
ñòèìûõ âàðèàíòîâ ìîæåò áûòü ïóñòûì. Åñëè ìíîæåñòâî âàðèàí-
òîâ íå ïóñòî, òî öåëåâàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü îãðàíè÷åíà (â
ýòîì ñëó÷àå åñòü îïòèìàëüíîå ðåøåíèå) è íå îãðàíè÷åíà (â ýòîì
ñëó÷àå äëÿ êàæäîãî ðåøåíèÿ åñòü ëó÷øåå).  ïîñòàâëåííîé òðàíñ-
ïîðòíîé çàäà÷å (1), (2), (3) ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ âàðèàíòîâ
âñåãäà îãðàíè÷åíî, êàæäîå õ
ij
íåîòðèöàòåëüíî è õ
ij
≤ min{a
i
, b
j
}. Ïî
òåîðåìå Âåéåðøòðàññà íåïðåðûâíàÿ (â ÷àñòíîñòè ëèíåéíàÿ) ôóí-
êöèÿ ìíîãèõ ïåðåìåííûõ íà çàìêíóòîì, îãðàíè÷åííîì ìíîæå-
ñòâå îãðàíè÷åíà è äîñòèãàåò â íåêîòîðîé òî÷êå ñâîåãî ìèíèìóìà.
Âûÿñíèì, â êàêîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò ðåøåíèå.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Õ — äîïóñòèìîå ðåøåíèå çàäà÷è (1), (2),
(3). Îáîçíà÷èì ñóììó âñåõ ïåðåâîçîê S.
S
ij
ij
x
=
∑
,
.
Òîãäà, ñ îäíîé ñòîðîíû,
S
ij
j
n
i
m
x
=
==
∑∑
()
11
=
=
∑
i
i
m
a
1
,
ñ äðóãîé ñòîðîíû,
S
ij
i
m
j
n
x
=
==
∑∑
()
11
=
=
∑
j
j
n
b
1
.
Òî åñòü çàäà÷à (1), (2), (3) èìååò ðåøåíèå òîëüêî â òîì
ñëó÷àå, åñëè
i
i
m
a
=
∑
1
=
=
∑
j
j
n
b
1
.
(4)
Òàêèì îáðàçîì, ýòî óñëîâèå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì. Îíî
òðåáóåò ðàâåíñòâà îáùåãî çàïàñà ïðîäóêòà è îáùåé ïîòðåáíîñòè â
íåì. ×àñòî ýòî óñëîâèå íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì áàëàíñà. Ïîêàæåì,
÷òî îíî æå ÿâëÿåòñÿ è äîñòàòî÷íûì. Ïóñòü óñëîâèå (4) âûïîëíÿ-
åòñÿ. Âîçüìåì
х
ij
=
ab
S
ij
. (5)
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî òàêîé ïëàí óäîâëåòâîðÿåò âñåì óñëîâèÿì
(2), (3). Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû íå ïóñòî,
ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òðàíñïîðòíàÿ çàäà÷à âñåãäà èìååò ðåøåíèå ïðè
âûïîëíåíèè óñëîâèÿ áàëàíñà (4).
      Íåîáõîäèìî ìèíèìèçèðîâàòü ëèíåéíóþ ôóíêöèþ (1) ïðè
ëèíåéíûõ îãðàíè÷åíèÿõ (2), (3).  îáùåì ñëó÷àå ìíîæåñòâî äîïó-
ñòèìûõ âàðèàíòîâ ìîæåò áûòü ïóñòûì. Åñëè ìíîæåñòâî âàðèàí-
òîâ íå ïóñòî, òî öåëåâàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü îãðàíè÷åíà (â
ýòîì ñëó÷àå åñòü îïòèìàëüíîå ðåøåíèå) è íå îãðàíè÷åíà (â ýòîì
ñëó÷àå äëÿ êàæäîãî ðåøåíèÿ åñòü ëó÷øåå).  ïîñòàâëåííîé òðàíñ-
ïîðòíîé çàäà÷å (1), (2), (3) ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ âàðèàíòîâ
âñåãäà îãðàíè÷åíî, êàæäîå õij íåîòðèöàòåëüíî è õij ≤ min{ai, bj}. Ïî
òåîðåìå Âåéåðøòðàññà íåïðåðûâíàÿ (â ÷àñòíîñòè ëèíåéíàÿ) ôóí-
êöèÿ ìíîãèõ ïåðåìåííûõ íà çàìêíóòîì, îãðàíè÷åííîì ìíîæå-
ñòâå îãðàíè÷åíà è äîñòèãàåò â íåêîòîðîé òî÷êå ñâîåãî ìèíèìóìà.
Âûÿñíèì, â êàêîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò ðåøåíèå.
      Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Õ— äîïóñòèìîå ðåøåíèå çàäà÷è (1), (2),
(3). Îáîçíà÷èì ñóììó âñåõ ïåðåâîçîê S.
                                  S =        ∑x             ij   .
                                             i, j
                    Òîãäà, ñ îäíîé ñòîðîíû,
                           m          n                              m
                     S =   ∑ (∑ x                ij
                                                      ) =        ∑a  i=1
                                                                                 i   ,
                           i=1      j =1

ñ äðóãîé ñòîðîíû,
                            n            m                           n
                     S =   ∑ (∑ x
                           j =1       i =1
                                                 ij
                                                      ) =        ∑b          j       .
                                                                 j =1

     Òî åñòü çàäà÷à (1), (2), (3) èìååò ðåøåíèå òîëüêî â òîì
ñëó÷àå, åñëè
                                  m                     n

                                 ∑a          i
                                                 =    ∑b .               j               (4)
                                  i =1                 j =1
      Òàêèì îáðàçîì, ýòî óñëîâèå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì. Îíî
òðåáóåò ðàâåíñòâà îáùåãî çàïàñà ïðîäóêòà è îáùåé ïîòðåáíîñòè â
íåì. ×àñòî ýòî óñëîâèå íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì áàëàíñà. Ïîêàæåì,
÷òî îíî æå ÿâëÿåòñÿ è äîñòàòî÷íûì. Ïóñòü óñëîâèå (4) âûïîëíÿ-
åòñÿ. Âîçüìåì
                                                      ai b j
                                          хij =                      .                   (5)
                                                        S
      Ëåãêî âèäåòü, ÷òî òàêîé ïëàí óäîâëåòâîðÿåò âñåì óñëîâèÿì
(2), (3). Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû íå ïóñòî,
ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òðàíñïîðòíàÿ çàäà÷à âñåãäà èìååò ðåøåíèå ïðè
âûïîëíåíèè óñëîâèÿ áàëàíñà (4).


                                             54

Страницы