Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Получим энергетическое представление оператора взаимодействия
(1.43) по базису невозмущенных состояний (1.45), относящихся к под-
уровню E
(0)
nl
:
hnlm
0
l
m
0
s
|
ˆ
V |nlm
l
m
s
i = −
e}
2mc
B(m
l
+ 2m
s
)δ
m
0
l
m
l
δ
m
0
s
m
s
. (1.46)
При вычислении (1.46) использованы свойства диагональности
ˆ
l
z
и ˆs
z
в
представлении (1.45), а также нормировка радиальной волновой функ-
ции R
nl
(r) на единицу.
Поскольку, в соответствии с (1.46), оператор
ˆ
V диагонален по тем
же квантовым числам, по которым имеется вырождение подуровня
E
(0)
nl
, достаточно ограничиться теорией возмущений для невырожден-
ных уровней (без использования секулярного уравнения). Как извест-
но, поправка первого порядка к подуровню E
(0)
nl
равна диагональному
матричному элементу (1.46):
∆E
m
l
m
s
= hnlm
l
m
s
|
ˆ
V |nlm
l
m
s
i = −
e}
2mc
B(m
l
+ 2m
s
). (1.47)
Таким образом, в первом неисчезающем порядке теории возмуще-
ний по величине магнитного поля волновые функции не меняются.
Энергия же начинает зависеть от ориентации l и s относительно B,
т. е. от квантовых чисел m
l
и m
s
. Подуровень E
(0)
nl
расщепляется (сни-
мается вырождение по m
l
и m
s
). Расщепленные уровни для даль-
нейшего анализа удобно разбить на два семейства, соответствующих
m
s
= ±
1
2
s
z
= ±
}
2
:
E
(±)
nlm
l
= E
(0)
nl
−
e}
2mc
B(m
l
± 1). (1.48)
Расщепление 1s- и 2p-подуровней в магнитном поле схематически
представлено на рис. 1.1. Расщепление трехкратно вырожденного 2p-
подуровня при заданном m
s
на 3 линии (частичное снятие вырожде-
ния) получается из (1.48), если перебрать возможные значения m
l
при
l = 1 (m
l
= 0, ±1). Величина расщепления постоянна и равна
∆ =
e}
2mc
B = }ω
L
, (1.49)
где ω
L
= eB/(2mc) — частота Лармора, т. е. линейна по величине маг-
нитного поля. Расщепление 1s-подуровня (l = m
l
= 0) получается
лишь благодаря наличию спина у электрона. Это важный результат
теории спина. Подобное расщепление наблюдали в своих опытах Штерн
и Герлах.
18
    Получим энергетическое представление оператора взаимодействия
(1.43) по базису невозмущенных состояний (1.45), относящихся к под-
          (0)
уровню Enl :
                                       e}
     hnlm0l m0s | V̂ |nlml ms i = −       B(ml + 2ms )δm0l ml δm0s ms .   (1.46)
                                      2mc
При вычислении (1.46) использованы свойства диагональности ˆlz и ŝz в
представлении (1.45), а также нормировка радиальной волновой функ-
ции Rnl (r) на единицу.
   Поскольку, в соответствии с (1.46), оператор V̂ диагонален по тем
же квантовым числам, по которым имеется вырождение подуровня
 (0)
Enl , достаточно ограничиться теорией возмущений для невырожден-
ных уровней (без использования секулярного уравнения). Как извест-
                                             (0)
но, поправка первого порядка к подуровню Enl равна диагональному
матричному элементу (1.46):
                                                   e}
     ∆Eml ms = hnlml ms | V̂ |nlml ms i = −           B(ml + 2ms ).       (1.47)
                                                  2mc
    Таким образом, в первом неисчезающем порядке теории возмуще-
ний по величине магнитного поля волновые функции не меняются.
Энергия же начинает зависеть от ориентации l и s относительно B,
                                               (0)
т. е. от квантовых чисел ml и ms . Подуровень Enl расщепляется (сни-
мается вырождение по ml и ms ). Расщепленные уровни для даль-
нейшего анализа удобно
                        разбить на два семейства, соответствующих
         1        }
ms = ± 2 s z = ± 2 :

                        (±)           (0)     e}
                      Enlml = Enl −              B(ml ± 1).               (1.48)
                                             2mc
Расщепление 1s- и 2p-подуровней в магнитном поле схематически
представлено на рис. 1.1. Расщепление трехкратно вырожденного 2p-
подуровня при заданном ms на 3 линии (частичное снятие вырожде-
ния) получается из (1.48), если перебрать возможные значения ml при
l = 1 (ml = 0, ±1). Величина расщепления постоянна и равна
                                       e}
                              ∆=          B = }ωL ,                       (1.49)
                                      2mc
где ωL = eB/(2mc) — частота Лармора, т. е. линейна по величине маг-
нитного поля. Расщепление 1s-подуровня (l = ml = 0) получается
лишь благодаря наличию спина у электрона. Это важный результат
теории спина. Подобное расщепление наблюдали в своих опытах Штерн
и Герлах.

                                            18

Страницы