Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Квантовая формула (1.50) не содержит постоянной Планка }, и поэто-
му результат должен совпадать с классическим. Это совпадение имеет
место.
Применимость полученных результатов ограничена величиной магнит-
ного поля не только сверху, но и снизу: расщепление ∆ должно оставаться
большим по сравнению с интервалами тонкой структуры атомных уровней.
В противном случае эффект Зеемана становится сложным (или аномаль-
ным). Зависимость от магнитных квантовых чисел будет уже иной, нежели
в (1.48).
1.6. Элементы квантовой теории углового момента
Материал данного раздела является дополнительным и при первом
чтении может быть пропущен. Более подробное изложение имеется,
например, в [3] из списка дополнительной литературы, пп. 1.1, 1.2.
1.6.1. Общие свойства углового момента
Определим оператор углового момента
ˆ
J как векторный эрмитов
(
ˆ
J =
ˆ
J
†
) оператор, декартовы компоненты которого удовлетворяют
коммутационным соотношениям:
[
ˆ
J
k
,
ˆ
J
l
] = i}
X
m
ε
klm
ˆ
J
m
; k, l, m = x, y, z. (1.51)
Их следствием, как можно показать, будет:
[
ˆ
J
k
,
ˆ
J
2
] = 0; k = x, y, z, (1.52)
где
ˆ
J
2
=
ˆ
J
2
x
+
ˆ
J
2
y
+
ˆ
J
2
y
— оператор квадрата углового момента.
На основе только коммутационных соотношений (1.51) для сово-
купности трех эрмитовых операторов
ˆ
J
i
можно получить собственные
значения
ˆ
J
z
и
ˆ
J
2
без использования конкретного (например, коорди-
натного) представления для этих операторов. Строгий вывод излага-
ется, например, в [3] из списка дополнительной литературы, п. 1.1.4.
Приведем лишь окончательный результат:
ˆ
J
2
|j mi = }
2
j(j + 1) |j mi; j = 0,
1
2
, 1,
3
2
, . . . ;
ˆ
J
z
|j mi = }m |j mi; m = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j
(1.53)
Собственным значениям
ˆ
J
2
соответствует квантовое число j. Оно ино-
гда называется «моментом» и может принимать как целые, так и по-
луцелые значения. Собственным значениям
ˆ
J
z
соответствует квантовое
20
Квантовая формула (1.50) не содержит постоянной Планка }, и поэто-
му результат должен совпадать с классическим. Это совпадение имеет
место.
    Применимость полученных результатов ограничена величиной магнит-
ного поля не только сверху, но и снизу: расщепление ∆ должно оставаться
большим по сравнению с интервалами тонкой структуры атомных уровней.
В противном случае эффект Зеемана становится сложным (или аномаль-
ным). Зависимость от магнитных квантовых чисел будет уже иной, нежели
в (1.48).


1.6.     Элементы квантовой теории углового момента
   Материал данного раздела является дополнительным и при первом
чтении может быть пропущен. Более подробное изложение имеется,
например, в [3] из списка дополнительной литературы, пп. 1.1, 1.2.

1.6.1.     Общие свойства углового момента
    Определим оператор углового момента Ĵ как векторный эрмитов
(Ĵ = Ĵ † ) оператор, декартовы компоненты которого удовлетворяют
коммутационным соотношениям:
                                  X
                [Jˆk , Jˆl ] = i}   εklm Jˆm ; k, l, m = x, y, z. (1.51)
                                m

Их следствием, как можно показать, будет:
                          [Jˆk , Ĵ 2 ] = 0;        k = x, y, z,           (1.52)

где Ĵ 2 = Jˆx2 + Jˆy2 + Jˆy2 — оператор квадрата углового момента.
   На основе только коммутационных соотношений (1.51) для сово-
купности трех эрмитовых операторов Jˆi можно получить собственные
значения Jˆz и Ĵ 2 без использования конкретного (например, коорди-
натного) представления для этих операторов. Строгий вывод излага-
ется, например, в [3] из списка дополнительной литературы, п. 1.1.4.
Приведем лишь окончательный результат:

                                                    1       3
         Ĵ 2 |j mi = }2 j(j + 1) |j mi ;    j = 0, , 1, , . . . ;
                                                    2       2              (1.53)
         Jˆz |j mi = }m |j mi ;         m = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j

Собственным значениям Ĵ 2 соответствует квантовое число j. Оно ино-
гда называется «моментом» и может принимать как целые, так и по-
луцелые значения. Собственным значениям Jˆz соответствует квантовое

                                               20

Страницы