Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

= [ˆ
1,k
, ˆ
1,l
] + [ˆ
1,k
, ˆ
2,l
]
| {z }
0
+ [ˆ
1,k
, ˆ
2,l
]
| {z }
0
+[ˆ
2,k
, ˆ
2,l
]
(1.51)
=
= i}
X
m
ε
klm
(ˆ
1,m
+ ˆ
2,m
)
(1.54)
= i}
X
m
ε
klm
ˆ
J
m
; k, l, m = x, y, z.
Значения двух подчеркнутых коммутаторов равны нулю, поскольку
операторы
ˆ
1
и
ˆ
2
относятся к разным подсистемам («действуют на раз-
ные переменные»). Таким образом, согласно определению (1.51), пол-
ный момент обладает всеми перечисленными выше свойствами углово-
го момента. Важно подчеркнуть, что под
ˆ
1
и
ˆ
2
можно понимать также
орбитальный и спиновый моменты одной частицы (например, электро-
на), поскольку они коммутируют (а только этот факт и использовался
в определении полного момента (1.54)).
1.6.3. Волновые функции составной системы
Пусть состояние каждой подсистемы задается соответственно вол-
новыми функциями h1|j
1
m
1
i и h2 |j
2
m
2
i. Поставим задачу построения
волновой функции всей системы.
Независимость подсистем позволяет в общем случае представить
полную волновую функцию в виде линейной комбинации произведений
волновых функций подсистем. Однако из-за вырождения по проекции
момента состояний каждой подсистемы возможны различные способы
построения полной волновой функции. Мы рассмотрим здесь два наи-
более распространенных.
1. В качестве полного набора коммутирующих операторов состав-
ной системы выбираются
ˆ
2
1
, ˆ
1,z
,
ˆ
2
2
, ˆ
2,z
. Состояния |j
1
m
1
, j
2
m
2
i ≡≡
|j
1
m
1
i |j
2
m
2
i являются собственными функциями всех этих операто-
ров:
ˆ
2
1
|j
1
m
1
, j
2
m
2
i = }
2
j
1
(j
1
+ 1) |j
1
m
1
, j
2
m
2
i;
ˆ
1,z
|j
1
m
1
, j
2
m
2
i = }m
1
|j
1
m
1
, j
2
m
2
i;
ˆ
2
2
|j
1
m
1
, j
2
m
2
i = }
2
j
2
(j
2
+ 1) |j
1
m
1
, j
2
m
2
i;
ˆ
2,z
|j
1
m
1
, j
2
m
2
i = }m
2
|j
1
m
1
, j
2
m
2
i.
(1.55)
Состояния |j
1
m
1
, j
2
m
2
i будем называть состояниями несвязанного
представления. Они определяют пространство размерности (2j
1
+ 1)×
×(2j
2
+ 1).
2. В качестве полного набора коммутирующих операторов выбира-
ются
ˆ
2
1
,
ˆ
2
2
,
ˆ
J
2
,
ˆ
J
z
, где полный момент
ˆ
J определен в (1.54) (проверить
самостоятельно их коммутативность). Их собственные функции — со-
стояния |JMi ≡ |(j
1
j
2
) JMi — называются состояниями связанного
22
                                                                                   (1.51)
             = [̂1,k , ̂1,l ] + [̂1,k , ̂2,l ] + [̂1,k , ̂2,l ] +[̂2,k , ̂2,l ] =
                                  | {z } | {z }
                                        0                 0
                X                              (1.54)      X
         = i}        εklm (̂1,m + ̂2,m ) = i}                   εklm Jˆm ;     k, l, m = x, y, z.
                m                                             m

Значения двух подчеркнутых коммутаторов равны нулю, поскольку
операторы ̂1 и ̂2 относятся к разным подсистемам («действуют на раз-
ные переменные»). Таким образом, согласно определению (1.51), пол-
ный момент обладает всеми перечисленными выше свойствами углово-
го момента. Важно подчеркнуть, что под ̂1 и ̂2 можно понимать также
орбитальный и спиновый моменты одной частицы (например, электро-
на), поскольку они коммутируют (а только этот факт и использовался
в определении полного момента (1.54)).

1.6.3.     Волновые функции составной системы
    Пусть состояние каждой подсистемы задается соответственно вол-
новыми функциями h1 |j1 m1 i и h2 |j2 m2 i. Поставим задачу построения
волновой функции всей системы.
    Независимость подсистем позволяет в общем случае представить
полную волновую функцию в виде линейной комбинации произведений
волновых функций подсистем. Однако из-за вырождения по проекции
момента состояний каждой подсистемы возможны различные способы
построения полной волновой функции. Мы рассмотрим здесь два наи-
более распространенных.
    1. В качестве полного набора коммутирующих операторов состав-
ной системы выбираются ̂21 , ̂1,z , ̂22 , ̂2,z . Состояния |j1 m1 , j2 m2 i ≡≡
|j1 m1 i |j2 m2 i являются собственными функциями всех этих операто-
ров:
                    ̂21 |j1 m1 , j2 m2 i = }2 j1 (j1 + 1) |j1 m1 , j2 m2 i ;
                ̂1,z |j1 m1 , j2 m2 i = }m1 |j1 m1 , j2 m2 i ;
                                                                                              (1.55)
                    ̂22 |j1 m1 , j2 m2 i = }2 j2 (j2 + 1) |j1 m1 , j2 m2 i ;
                ̂2,z |j1 m1 , j2 m2 i = }m2 |j1 m1 , j2 m2 i .

Состояния |j1 m1 , j2 m2 i будем называть состояниями несвязанного
представления. Они определяют пространство размерности (2j1 + 1)×
×(2j2 + 1).
   2. В качестве полного набора коммутирующих операторов выбира-
ются ̂21 , ̂22 , Ĵ 2 , Jˆz , где полный момент Ĵ определен в (1.54) (проверить
самостоятельно их коммутативность). Их собственные функции — со-
стояния |JM i ≡ |(j1 j2 ) JM i — называются состояниями связанного

                                                 22

Страницы