Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

представления. Соотношения, аналогичные (1.55), в связанном пред-
ставлении имеют вид:
ˆ
2
1
|(j
1
j
2
) JMi = }
2
j
1
(j
1
+ 1) |(j
1
j
2
) JMi;
ˆ
2
2
|(j
1
j
2
) JMi = }
2
j
2
(j
2
+ 1) |(j
1
j
2
) JMi;
ˆ
J
2
|(j
1
j
2
) JMi = }
2
J(J + 1) |(j
1
j
2
) JMi;
ˆ
J
z
|(j
1
j
2
) JMi = }M |(j
1
j
2
) JMi.
(1.56)
Состояния |(j
1
j
2
) JMi с фиксированными j
1
, j
2
и значением J, меня-
ющимся через единицу от |j
1
− j
2
| до j
1
− j
2
, образуют пространство
размерности
j=j
1
+j
2
X
j=|j
1
−j
2
|
(2j + 1) = (2j
1
+ 1)(2j
2
+ 1), (1.57)
той же, что и в случае несвязанного представления.
Поскольку размерности обеих пространств одинаковы, волновые
функции связанного и несвязанного представлений связаны унитарным
преобразованием:
|(j
1
j
2
) JMi =
X
m
1
m
2
|j
1
m
1
, j
2
m
2
ihj
1
m
1
, j
2
m
2
|(j
1
j
2
) JMi. (1.58)
Обратное преобразование есть:
|j
1
m
1
, j
2
m
2
i =
X
JM
|(j
1
j
2
) JMih(j
1
j
2
) JM |j
1
m
1
, j
2
m
2
i. (1.59)
Элементы унитарной матрицы hj
1
m
1
, j
2
m
2
|(j
1
j
2
) JMi нумеруют-
ся сложным образом: «столбцы» задаются двойным индексом m
1
m
2
,
«строки» — индексом JM. Моменты j
1
и j
2
являются параметрами
матрицы.
Условия ортонормированности базисов |(j
1
j
2
) JMi и |j
1
m
1
, j
2
m
2
i
приводят к следующим соотношениям ортогональности:
X
m
1
m
2
h(j
1
j
2
) JM |j
1
m
1
, j
2
m
2
ihj
1
m
1
, j
2
m
2
|(j
1
j
2
) J
0
M
0
i = δ
J
0
J
δ
M
0
M
;
(1.60)
X
JM
hj
1
m
1
, j
2
m
2
|(j
1
j
2
) JMih(j
1
j
2
) JM |j
1
m
0
1
, j
2
m
0
2
i = δ
m
0
1
m
1
δ
m
0
2
m
2
.
(1.61)
Матричные элементы hj
1
m
1
, j
2
m
2
|(j
1
j
2
) JMi обычно записываются
в более компактных обозначениях,
hj
1
m
1
, j
2
m
2
|(j
1
j
2
) JMi ≡ C
JM
j
1
m
1
j
2
m
2
, (1.62)
23
представления. Соотношения, аналогичные (1.55), в связанном пред-
ставлении имеют вид:
                    ̂21 |(j1 j2 ) JM i = }2 j1 (j1 + 1) |(j1 j2 ) JM i ;
                    ̂22 |(j1 j2 ) JM i = }2 j2 (j2 + 1) |(j1 j2 ) JM i ;
                                                                                    (1.56)
                   Ĵ 2 |(j1 j2 ) JM i = }2 J(J + 1) |(j1 j2 ) JM i ;
                    Jˆz |(j1 j2 ) JM i = }M |(j1 j2 ) JM i .

Состояния |(j1 j2 ) JM i с фиксированными j1 , j2 и значением J, меня-
ющимся через единицу от |j1 − j2 | до j1 − j2 , образуют пространство
размерности
                    j=j
                      X 1 +j2

                              (2j + 1) = (2j1 + 1)(2j2 + 1),     (1.57)
                       j=|j1 −j2 |

той же, что и в случае несвязанного представления.
   Поскольку размерности обеих пространств одинаковы, волновые
функции связанного и несвязанного представлений связаны унитарным
преобразованием:
                      X
     |(j1 j2 ) JM i =   |j1 m1 , j2 m2 i hj1 m1 , j2 m2 |(j1 j2 ) JM i . (1.58)
                         m1 m2

Обратное преобразование есть:
                        X
     |j1 m1 , j2 m2 i =   |(j1 j2 ) JM i h(j1 j2 ) JM |j1 m1 , j2 m2 i .            (1.59)
                           JM

   Элементы унитарной матрицы hj1 m1 , j2 m2 |(j1 j2 ) JM i нумеруют-
ся сложным образом: «столбцы» задаются двойным индексом m1 m2 ,
«строки» — индексом JM . Моменты j1 и j2 являются параметрами
матрицы.
   Условия ортонормированности базисов |(j1 j2 ) JM i и |j1 m1 , j2 m2 i
приводят к следующим соотношениям ортогональности:
    X
       h(j1 j2 ) JM |j1 m1 , j2 m2 i hj1 m1 , j2 m2 |(j1 j2 ) J 0 M 0 i = δJ 0 J δM 0 M ;
   m1 m2

    X                                                                                 (1.60)
         hj1 m1 , j2 m2 |(j1 j2 ) JM i h(j1 j2 ) JM |j1 m01 , j2 m02 i = δm01 m1 δm02 m2 .
    JM
                                                                  (1.61)
   Матричные элементы hj1 m1 , j2 m2 |(j1 j2 ) JM i обычно записываются
в более компактных обозначениях,

                      hj1 m1 , j2 m2 |(j1 j2 ) JM i ≡ CjJM
                                                        1 m1 j2 m2
                                                                   ,                (1.62)

                                            23

Страницы