Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

число m. Его иногда называют просто «проекцией». В соответствии с
(1.52), у операторов
ˆ
J
z
и
ˆ
J
2
общий набор собственных функций.
Соотношения (1.51), (1.53) универсальны. Они включают в себя ор-
битальный (j = l = 0, 1, . . .) и спиновый (j = s =
1
2
) моменты как
частные случаи. В природе существуют частицы со спином, отличаю-
щимся от
1
2
. Как упоминалось в начале главы, у фотонов спин равен 1,
у Ω
−
-гиперонов —
3
2
. Существуют и бесспиновые частицы (с нулевым
спином), например, π-мезоны. Тем не менее, для спинов всех этих ча-
стиц выполняются соотношения (1.51), (1.53).
Обратим внимание, что при любом (целом и полуцелом) j проек-
ция m меняется только на целое число. Поэтому, во-первых, запись
m = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j более корректна по сравнению с привыч-
ной для орбитального момента записью m = 0, ±1, . . . , ±j, т. к. при
полуцелых j нуль не входит в число возможных значений m (если j —
целое, то обе записи эквивалентны). Во-вторых, число j ± m — всегда
целое. Очевидно, что собственные значения
ˆ
J
2
вырождены по проекции
m с кратностью 2j + 1. Причиной такого вырождения, как и в случае
орбитального момента, является независимость
ˆ
J
2
от ориентации «век-
тора»
ˆ
J.
Напомним, что в теории орбитального момента (см. ч. 1, п. 2.4) со-
отношения (1.51), (1.53) получались, если исходить из конкретного ви-
да оператора
ˆ
L в координатном представлении. Но такой способ дает
лишь целые значения орбитального квантового числа. Отказ от коорди-
натного представления позволяет рассматривать и полуцелые значения
j, соответствующие спинам элементарных частиц, операторы которых,
как уже говорилось в теории спина, в принципе не могут быть записаны
в координатном представлении.
1.6.2. Сложение моментов
Рассмотрим сложную систему, состоящую из двух подсистем. Пе-
ременные первой подсистемы будем помечать индексом «1», второй —
«2». Пусть
ˆ
1
и
ˆ
2
— операторы углового момента каждой из подсистем.
Определим оператор полного момента как
ˆ
J =
ˆ
1
+
ˆ
2
. (1.54)
Докажем, что
ˆ
J тоже является оператором углового момента. Для
этого просто проверим равенство (1.51):
[
ˆ
J
k
,
ˆ
J
l
]
(1.54)
= [ˆ
1,k
+ ˆ
2,k
, ˆ
1,l
+ ˆ
2,l
] =
21
число m. Его иногда называют просто «проекцией». В соответствии с
(1.52), у операторов Jˆz и Ĵ 2 общий набор собственных функций.
    Соотношения (1.51), (1.53) универсальны. Они включают в себя ор-
битальный (j = l = 0, 1, . . .) и спиновый (j = s = 12 ) моменты как
частные случаи. В природе существуют частицы со спином, отличаю-
щимся от 21 . Как упоминалось в начале главы, у фотонов спин равен 1,
у Ω− -гиперонов — 32 . Существуют и бесспиновые частицы (с нулевым
спином), например, π-мезоны. Тем не менее, для спинов всех этих ча-
стиц выполняются соотношения (1.51), (1.53).
    Обратим внимание, что при любом (целом и полуцелом) j проек-
ция m меняется только на целое число. Поэтому, во-первых, запись
m = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j более корректна по сравнению с привыч-
ной для орбитального момента записью m = 0, ±1, . . . , ±j, т. к. при
полуцелых j нуль не входит в число возможных значений m (если j —
целое, то обе записи эквивалентны). Во-вторых, число j ± m — всегда
целое. Очевидно, что собственные значения Ĵ 2 вырождены по проекции
m с кратностью 2j + 1. Причиной такого вырождения, как и в случае
орбитального момента, является независимость Ĵ 2 от ориентации «век-
тора» Ĵ .
    Напомним, что в теории орбитального момента (см. ч. 1, п. 2.4) со-
отношения (1.51), (1.53) получались, если исходить из конкретного ви-
да оператора L̂ в координатном представлении. Но такой способ дает
лишь целые значения орбитального квантового числа. Отказ от коорди-
натного представления позволяет рассматривать и полуцелые значения
j, соответствующие спинам элементарных частиц, операторы которых,
как уже говорилось в теории спина, в принципе не могут быть записаны
в координатном представлении.

1.6.2.      Сложение моментов
   Рассмотрим сложную систему, состоящую из двух подсистем. Пе-
ременные первой подсистемы будем помечать индексом «1», второй —
«2». Пусть ̂1 и ̂2 — операторы углового момента каждой из подсистем.
Определим оператор полного момента как

                                         Ĵ = ̂1 + ̂2 .        (1.54)

   Докажем, что Ĵ тоже является оператором углового момента. Для
этого просто проверим равенство (1.51):


              (1.54)
  [Jˆk , Jˆl ] = [̂1,k + ̂2,k , ̂1,l + ̂2,l ] =


                                                21

Страницы