Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

и называются коэффициентами Клебша – Гордана или коэффициента-
ми векторного сложения. Преобразование (1.58) в обозначениях (1.62)
принимает вид:
|(j
1
j
2
) JMi =
X
m
1
m
2
C
JM
j
1
m
1
j
2
m
2
|j
1
m
1
, j
2
m
2
i (1.63)
Коэффициентам Клебша – Гордана можно приписать следующий фи-
зический смысл, очевидный из (1.58), (1.63): |C
JM
j
1
m
1
j
2
m
2
|
2
есть вероят-
ность обнаружения заданных проекций моментов m
1
и m
2
= M −m
1
первой и второй подсистем в состоянии с полным моментом J и
проекцией M, или, как следует из (1.59), вероятность обнаружения
заданных значений J и его проекции M в несвязанном состоянии с
заданными j
1
, m
1
и j
2
, m
2
.
Перечислим тривиальные ограничения на параметры коэффициен-
тов Клебша – Гордана («правила отбора»), нарушение которых приво-
дит к их обращению в нуль.
Для каждой из входящих в коэффициент Клебша – Гордана проек-
ций моментов должно выполняться соотношение:
j
1,2
> |m
1,2
|; j
1,2
± m
1,2
— целое;
J > |M|; J ± M — целое
(1.64)
Для проекций моментов, входящих в коэффициент Клебша – Гордана,
имеет место простое равенство:
M = m
1
+ m
2
(1.65)
Ограничение на моменты выглядит сложнее. Прежде всего их сумма
обязана быть целочисленной, а основное соотношение формулируется
следующим образом:
J = |j
1
− j
2
|, |j
1
− j
2
| + 1 , . . . , j
1
+ j
2
− 1, j
1
+ j
2
(1.66)
или в более краткой форме:
|j
1
− j
2
| 6 J 6 j
1
+ j
2
. (1.67)
Невыполнение (1.66) приводит к обращению соответствующего коэф-
фициента Клебша – Гордана в нуль.
Условиям (1.65) и (1.66) можно дать следующую наглядную геомет-
рическую интерпретацию: моменты, входящие в коэффициент Клеб-
ша – Гордана, должны образовывать в плоскости оси Oz треугольник
24
и называются коэффициентами Клебша – Гордана или коэффициента-
ми векторного сложения. Преобразование (1.58) в обозначениях (1.62)
принимает вид:

                                   X
                |(j1 j2 ) JM i =           CjJM
                                             1 m1 j2 m2
                                                        |j1 m1 , j2 m2 i   (1.63)
                                   m1 m2


Коэффициентам Клебша – Гордана можно приписать следующий фи-
зический смысл, очевидный из (1.58), (1.63): |CjJM
                                                1 m1 j2 m2
                                                           |2 есть вероят-
ность обнаружения заданных проекций моментов m1 и m2 = M − m1
первой и второй подсистем в состоянии с полным моментом J и
проекцией M , или, как следует из (1.59), вероятность обнаружения
заданных значений J и его проекции M в несвязанном состоянии с
заданными j1 , m1 и j2 , m2 .
   Перечислим тривиальные ограничения на параметры коэффициен-
тов Клебша – Гордана («правила отбора»), нарушение которых приво-
дит к их обращению в нуль.
   Для каждой из входящих в коэффициент Клебша – Гордана проек-
ций моментов должно выполняться соотношение:

                    j1,2 > |m1,2 |; j1,2 ± m1,2 — целое;
                                                                           (1.64)
                    J > |M |; J ± M — целое

Для проекций моментов, входящих в коэффициент Клебша – Гордана,
имеет место простое равенство:

                                   M = m 1 + m2                            (1.65)

Ограничение на моменты выглядит сложнее. Прежде всего их сумма
обязана быть целочисленной, а основное соотношение формулируется
следующим образом:

        J = |j1 − j2 |, |j1 − j2 | + 1 , . . . , j1 + j2 − 1, j1 + j2      (1.66)

или в более краткой форме:

                            |j1 − j2 | 6 J 6 j1 + j2 .                     (1.67)

Невыполнение (1.66) приводит к обращению соответствующего коэф-
фициента Клебша – Гордана в нуль.
   Условиям (1.65) и (1.66) можно дать следующую наглядную геомет-
рическую интерпретацию: моменты, входящие в коэффициент Клеб-
ша – Гордана, должны образовывать в плоскости оси Oz треугольник

                                           24

Страницы