Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

потенциальной энергии U(r). Поскольку
ˆ
p — полярный вектор, а
ˆ
s —
аксиальный вектор, то единственно возможным скаляром будет
ˆ
V
so
= A
ˆ
s[grad U ×
ˆ
p]. (1.69)
Константа A может быть найдена только в рамках релятивистской
квантовой теории: A = (2m
2
c
2
)
−1
, где m — масса электрона. Поскольку
поле U(r) центральное, имеем:
ˆ
V
so
=
}
2
2m
2
c
2
r
dU
dr
(
ˆ
s
ˆ
L)
(1.70)
Проанализируем гамильтониан валентного электрона с учетом спин-
орбитального взаимодействия (1.70):
ˆ
H =
ˆ
H
0
+
ˆ
V
so
,
где
ˆ
H
0
определено в (1.40). Наличие спин-орбитального взаимодействия
приводит к несохранению проекций орбитального и спинового момен-
тов по отдельности. Для доказательства достаточно вычислить ком-
мутаторы
[ˆs
z
, (
ˆ
s
ˆ
L)] = i}e
z
[
ˆ
L ×
ˆ
s]; [
ˆ
L
z
, (
ˆ
s
ˆ
L)] = i}e
z
[
ˆ
s ×
ˆ
L],
которые не обращаются в нуль. Однако квадраты орбитального, спи-
нового, а также полного момента J = l + s и его проекции J
z
будут со-
храняться. Рекомендуем показать это самостоятельно. Поэтому спин-
угловые функции валентного электрона удобно выбрать в виде (1.68),
т. е. с квантовыми числами j, m
j
, l. Обозначим их
(l
1
2
)jm
j
.
Будем при расчете энергии учитывать спин-орбитальное взаимодей-
ствие по теории возмущений. Нетрудно показать (возводя соотношение
ˆ
J =
ˆ
L +
ˆ
s в квадрат), что
(
ˆ
L
ˆ
s) =
1
2
(
ˆ
J
2
−
ˆ
L
2
−
ˆ
s
2
),
т. е. произведение (
ˆ
L
ˆ
s) диагонализуется вместе с
ˆ
J
2
,
ˆ
L
2
и
ˆ
s
2
. Поэтому
в невозмущенном базисе (1.68) оператор (1.70) остается диагональным,
что позволяет использовать теорию возмущений для невырожденных
уровней. Приведем результат:
E
njl
= E
(0)
nl
+
}
2
4m
2
c
2
j(j + 1) −l(l + 1) −
3
4
1
r
dU
dr
. (1.71)
Для вычисления радиального интеграла нужно знать радиальные вол-
новые функции. Легко увидеть, что у энергии появляется зависимость
27
потенциальной энергии U (r). Поскольку p̂ — полярный вектор, а ŝ —
аксиальный вектор, то единственно возможным скаляром будет

                              V̂so = Aŝ[grad U × p̂].                            (1.69)

Константа A может быть найдена только в рамках релятивистской
квантовой теории: A = (2m2 c2 )−1 , где m — масса электрона. Поскольку
поле U (r) центральное, имеем:

                                         }2 dU
                              V̂so =               (ŝL̂)                         (1.70)
                                       2m2 c2 r dr
Проанализируем гамильтониан валентного электрона с учетом спин-
орбитального взаимодействия (1.70):

                                   Ĥ = Ĥ0 + V̂so ,

где Ĥ0 определено в (1.40). Наличие спин-орбитального взаимодействия
приводит к несохранению проекций орбитального и спинового момен-
тов по отдельности. Для доказательства достаточно вычислить ком-
мутаторы

           [ŝz , (ŝL̂)] = i}ez [L̂ × ŝ];    [L̂z , (ŝL̂)] = i}ez [ŝ × L̂],

которые не обращаются в нуль. Однако квадраты орбитального, спи-
нового, а также полного момента J = l + s и его проекции Jz будут со-
храняться. Рекомендуем показать это самостоятельно. Поэтому спин-
угловые функции валентного электрона удобно выбрать в виде (1.68),
т. е. с квантовыми числами j, mj , l. Обозначим их (l 21 )jmj .
    Будем при расчете энергии учитывать спин-орбитальное взаимодей-
ствие по теории возмущений. Нетрудно показать (возводя соотношение
Ĵ = L̂ + ŝ в квадрат), что
                                       1 2
                            (L̂ŝ) =     (Ĵ − L̂2 − ŝ2 ),
                                       2
                                                                   2     2
т. е. произведение (L̂ŝ) диагонализуется вместе с Ĵ , L̂ и ŝ2 . Поэтому
в невозмущенном базисе (1.68) оператор (1.70) остается диагональным,
что позволяет использовать теорию возмущений для невырожденных
уровней. Приведем результат:
                                                            
               (0)     }2                            3    1 dU
       Enjl = Enl +            j(j + 1) − l(l + 1) −             .   (1.71)
                     4m2 c2                          4    r dr
Для вычисления радиального интеграла нужно знать радиальные вол-
новые функции. Легко увидеть, что у энергии появляется зависимость

                                              27

Страницы