Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Глава 2.
Системы тождественных частиц
Перейдем теперь к рассмотрению свойств систем, состоящих из оди-
наковых (тождественных) частиц, т. е. частиц, обладающих одинаковой
массой m, зарядом e, спином s и т. д. Примером таких систем могут
служить атомы с числом электронов больше или равным двум. Следу-
ет отметить принципиальную разницу в определении тождественности
частиц в классической и квантовой механике. Действительно, эволю-
ция классической системы однозначно определяется заданием началь-
ных координат и скоростей частиц в некоторый момент времени. Таким
образом, пронумеровав частицы в начальный момент времени t
0
, так
что i-частице соответствует начальная скорость v
0,i
и координата r
0,i
,
мы можем однозначно определить какая из частиц находится в точке
r в момент времени t, «проследив» движение частиц вдоль их траекто-
рий. В результате мы видим, что в классической механике, несмотря на
одинаковость внутренних характеристик частиц, последние в принципе
различимы. В квантовой теории, ввиду отсутствия понятия «траекто-
рия», одинаковые частицы в принципе неразличимы.
2.1. Оператор перестановки. Принцип тождествен-
ности
Вначале рассмотрим наиболее простые свойства системы тожде-
ственных частиц. Пусть число частиц в системе равно N. Обозначим
через ξ
i
совокупность декартовых координат r
i
и спиновой переменной
s
iz
, относящихся к i-й частице: ξ
i
≡ (r
i
, s
iz
). Тогда в нерелятивистском
пределе гамильтониан системы частиц можно записать в виде:
ˆ
H =
N
X
i=1
(
ˆ
p
2
i
2m
+ U(ξ
i
; t)
)
+
N
X
i>j=1
ˆ
V (ξ
i
, ξ
j
), (2.1)
где
ˆ
p
i
≡ −i}∇
i
— оператор импульса i-й частицы; U(ξ; t) — потенци-
альная функция частицы во внешнем поле,
ˆ
V (ξ
i
, ξ
j
) — потенциальная
энергия взаимодействия между i-й и j-й частицами
1
.
1
Предполагается, что потенциальная энергия симметрична по перестановкам ξ
i
и ξ
j
:
ˆ
V (ξ
i
, ξ
j
) =
ˆ
V (ξ
j
, ξ
i
).
30
Глава 2.

Системы тождественных частиц

    Перейдем теперь к рассмотрению свойств систем, состоящих из оди-
наковых (тождественных) частиц, т. е. частиц, обладающих одинаковой
массой m, зарядом e, спином s и т. д. Примером таких систем могут
служить атомы с числом электронов больше или равным двум. Следу-
ет отметить принципиальную разницу в определении тождественности
частиц в классической и квантовой механике. Действительно, эволю-
ция классической системы однозначно определяется заданием началь-
ных координат и скоростей частиц в некоторый момент времени. Таким
образом, пронумеровав частицы в начальный момент времени t0 , так
что i-частице соответствует начальная скорость v 0,i и координата r 0,i ,
мы можем однозначно определить какая из частиц находится в точке
r в момент времени t, «проследив» движение частиц вдоль их траекто-
рий. В результате мы видим, что в классической механике, несмотря на
одинаковость внутренних характеристик частиц, последние в принципе
различимы. В квантовой теории, ввиду отсутствия понятия «траекто-
рия», одинаковые частицы в принципе неразличимы.

2.1.    Оператор перестановки. Принцип тождествен-
        ности
     Вначале рассмотрим наиболее простые свойства системы тожде-
ственных частиц. Пусть число частиц в системе равно N . Обозначим
через ξi совокупность декартовых координат ri и спиновой переменной
siz , относящихся к i-й частице: ξi ≡ (r i , siz ). Тогда в нерелятивистском
пределе гамильтониан системы частиц можно записать в виде:
                      N
                         (                 )       N
                     X       2
                           p̂i                    X
               Ĥ =            + U (ξi ; t) +          V̂ (ξi , ξj ),   (2.1)
                     i=1
                           2m                   i>j=1

где p̂i ≡ −i}∇i — оператор импульса i-й частицы; U (ξ; t) — потенци-
альная функция частицы во внешнем поле, V̂ (ξi , ξj ) — потенциальная
энергия взаимодействия между i-й и j-й частицами 1 .
  1   Предполагается, что потенциальная энергия симметрична по перестановкам ξ i
и ξj : V̂ (ξi , ξj ) = V̂ (ξj , ξi ).


                                      30

Страницы