Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 31 стр.

    Так как система состоит из тождественных частиц, то оператор Га-
мильтона не изменяется при перестановке любой пары «координат» ξk
и ξj . Введем оператор перестановки k-й и j-й частицы (Pjk ), определя-
емый соотношением:
                                                     def
   P̂jk Ψ(ξ1 , . . . , ξj , . . . , ξk , . . . , ξN ) = Ψ(ξ1 , . . . , ξk , . . . , ξj , . . . , ξN ).   (2.2)

Очевидно, оператор перестановки частиц P̂jk является линейным и
самосопряженным оператором (рекомендуем проверить это самосто-
ятельно). Определим собственные значения оператора перестановки.
Для этого запишем уравнение:

                                               P̂jk Ψ = P Ψ.                                             (2.3)

Подействуем на уравнение (2.3) оператором P̂jk повторно. С учетом
                       2
очевидного равенства P̂jk = 1̂ получаем, что P 2 = 1, следовательно,
P = ±1. Таким образом, действие оператора перестановки определяет-
ся умножением волновой функции на +1 или −1. Состояния с P = +1
называются симметричными. Снабдим соответствующие функции ин-
дексом s. Для любых j и k, в соответствии с (2.3), будет выполняться
соотношение:

     Ψs (ξ1 , . . . , ξj , . . . , ξk , . . . , ξN ) = Ψs (ξ1 , . . . , ξk , . . . , ξj , . . . , ξN )   (2.4)

Состояния с P = −1 называются антисимметричными. Для их обо-
значения будем использовать индекс a:

   Ψa (ξ1 , . . . , ξj , . . . , ξk , . . . , ξN ) = −Ψa (ξ1 , . . . , ξk , . . . , ξj , . . . , ξN )    (2.5)

   Математически инвариантность гамильтониана по отношению к пе-
рестановке пары частиц выражается в виде равенства нулю коммута-
тора оператора P̂jk с оператором Гамильтона Ĥ:

                                               [P̂jk , Ĥ] = 0                                           (2.6)

Так как оператор перестановки не зависит от времени, то используя
соотношение (2.6), получим:

                                                  d
                                                 dP jk
                                                       = 0,                                              (2.7)
                                                  dt
т. е. в системе тождественных частиц перестановочная симметрия
волновой функции сохраняется. Соотношение (2.7) выражает принцип
тождественности: в системах тождественных частиц реализуются

                                                       31