Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

только такие состояния, волновые функции которых при всевозмож-
ных перестановках координат частиц либо не изменяются, либо меняют
знак.
В заключении сформулируем правило выбора знака перестановоч-
ной симметрии, определяемое значением спина частицы. Напомним,
что если спин частиц является целым, то такие частицы называются ча-
стицами Бозе (или бозонами); частицы с полуцелым спином называют-
ся частицами Ферми (или фермионами). Симметрия волновой функции
системы тождественных частиц устанавливается теоремой Людерса–
Паули
2
, которая утверждает, что волновая функция системы бозонов
симметрична, а волновая функция системы фермионов антисиммет-
рична по отношению к перестановке любой пары пространственных и
спиновых переменных. Квантовые статистические ансамбли таких ча-
стиц подчиняются соответственно статистикам Бозе–Эйнштейна или
Ферми–Дирака.
2.2. Симметричные и антисимметричные волновые
функции
В ходе решения многочастичного уравнения Шредингера может
получиться так, что полученное решение Ψ(ξ
1
, . . . , ξ
N
) не обладает
какой-либо определенной перестановочной симметрией. В этом случае
приходится дополнительно симметризовать волновую функцию. Отме-
тим, что в силу (2.6), волновая функция Ψ(ξ
1
, . . . , ξ
N
) с попарно пере-
ставленными «координатами» ξ
i
, также является решением уравнения
Шрeдингера. Тогда, очевидно, процесс дополнительной симметризации
волновой функции сводится к отысканию соответствующей линейной
комбинации (симметричной или антисимметричной по перестановкам
ξ
i
), составленной из функций Ψ с попарно переставленными «коорди-
натами» ξ
i
.
Рассмотрим вначале духчастичную волновую функцию Ψ(ξ
1
, ξ
2
).
В этом случае нетрудно составить такую линейную комбинацию, кото-
рая определяет симметричную (антисимметричную) волновую функ-
цию:
Ψ
s
(ξ
1
, ξ
2
) = C
s
{Ψ(ξ
1
, ξ
2
) + Ψ(ξ
2
, ξ
1
)};
Ψ
a
(ξ
1
, ξ
2
) = C
a
{Ψ(ξ
1
, ξ
2
) − Ψ(ξ
2
, ξ
1
)},
где C
s
и C
a
— нормировочные константы. Мы видим, что при постро-
ении антисимметричной волновой функции, волновая функция с пере-
2
Отметим, что последовательное доказательство теоремы Людерса–Паули воз-
можно только в рамках квантовой теории поля.
32
только такие состояния, волновые функции которых при всевозмож-
ных перестановках координат частиц либо не изменяются, либо меняют
знак.
    В заключении сформулируем правило выбора знака перестановоч-
ной симметрии, определяемое значением спина частицы. Напомним,
что если спин частиц является целым, то такие частицы называются ча-
стицами Бозе (или бозонами); частицы с полуцелым спином называют-
ся частицами Ферми (или фермионами). Симметрия волновой функции
системы тождественных частиц устанавливается теоремой Людерса–
Паули 2 , которая утверждает, что волновая функция системы бозонов
симметрична, а волновая функция системы фермионов антисиммет-
рична по отношению к перестановке любой пары пространственных и
спиновых переменных. Квантовые статистические ансамбли таких ча-
стиц подчиняются соответственно статистикам Бозе–Эйнштейна или
Ферми–Дирака.

2.2.   Симметричные и антисимметричные волновые
       функции
     В ходе решения многочастичного уравнения Шредингера может
получиться так, что полученное решение Ψ(ξ1 , . . . , ξN ) не обладает
какой-либо определенной перестановочной симметрией. В этом случае
приходится дополнительно симметризовать волновую функцию. Отме-
тим, что в силу (2.6), волновая функция Ψ(ξ1 , . . . , ξN ) с попарно пере-
ставленными «координатами» ξi , также является решением уравнения
Шрeдингера. Тогда, очевидно, процесс дополнительной симметризации
волновой функции сводится к отысканию соответствующей линейной
комбинации (симметричной или антисимметричной по перестановкам
ξi ), составленной из функций Ψ с попарно переставленными «коорди-
натами» ξi .
     Рассмотрим вначале духчастичную волновую функцию Ψ(ξ1 , ξ2 ).
В этом случае нетрудно составить такую линейную комбинацию, кото-
рая определяет симметричную (антисимметричную) волновую функ-
цию:

                  Ψs (ξ1 , ξ2 ) = Cs {Ψ(ξ1 , ξ2 ) + Ψ(ξ2 , ξ1 )};
                  Ψa (ξ1 , ξ2 ) = Ca {Ψ(ξ1 , ξ2 ) − Ψ(ξ2 , ξ1 )},

где Cs и Ca — нормировочные константы. Мы видим, что при постро-
ении антисимметричной волновой функции, волновая функция с пере-
  2Отметим, что последовательное доказательство теоремы Людерса–Паули воз-
можно только в рамках квантовой теории поля.


                                        32

Страницы