Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ставленными «координатами» входит с обратным знаком, в то время
как симметричная волновая функция определяется комбинацией функ-
ций с одинаковым знаком.
Рассмотрим более общий случай, когда число частиц N произволь-
но. Пронумеруем все возможные перестановки
3
координат ξ
i
таким
образом, что четной (нечетной) перестановке соответствует четный
(нечетный) номер. Обозначим функцию, аргументы которой образу-
ют ν-ю перестановку координат ξ
i
, как
ˆ
P
ν
Ψ(ξ
1
, . . . , ξ
N
). В этом случае
симметричную (антисимметричную) волновую функцию можно пред-
ставить в виде:
Ψ
s
(ξ
1
, . . . , ξ
N
) = C
s
X
ν
ˆ
P
ν
Ψ(ξ
1
, . . . , ξ
N
), (2.8)
Ψ
a
(ξ
1
, . . . , ξ
N
) = C
a
X
ν
(−1)
ν
ˆ
P
ν
Ψ(ξ
1
, . . . , ξ
N
). (2.9)
Действительно, при действии оператором
ˆ
P
j,k
четная перестановка пе-
реходит в нечетную и обратно, тогда как из (2.8) и (2.9) следует, что
функция Ψ
s
(Ψ
a
) не меняет (меняет) знак. Нормировочные множители
C
a
, C
s
полностью определяются структурой функции Ψ(ξ
1
, . . . , ξ
N
).
Если гамильтониан не действует на спиновые переменные, то волно-
вая функция факторизуется на пространственную (Φ) и спиновую (S)
функцию:
Ψ
s
(ξ
1
, . . . , ξ
N
) = Φ(r
1
, . . . , r
N
)S(s
z1
, . . . , s
zN
). (2.10)
В этом случае функции Φ и χ симметризуются (антисимметризуются)
так, чтобы полная функция Ψ имела требуемую симметрию. В частно-
сти, антисимметричную функцию Ψ можно получить двумя способами:
Ψ
a
(ξ
1
, . . . , ξ
N
) = Φ
s
(r
1
, . . . , r
N
)S
a
(s
z1
, . . . , s
zN
) (2.11)
или
Ψ
a
(ξ
1
, . . . , ξ
N
) = Φ
a
(r
1
, . . . , r
N
)S
s
(s
z1
, . . . , s
zN
). (2.12)
Функции Φ
a
,Φ
s
и S
a
,S
s
получаются из Φ и χ по формулам, аналогич-
ным (2.8), (2.9). Нетрудно найти структуру и для симметричной функ-
ции Ψ
s
(выполнить самостоятельно!)
3
Напомним, что число всех возможных перестановок равно N!.
33
ставленными «координатами» входит с обратным знаком, в то время
как симметричная волновая функция определяется комбинацией функ-
ций с одинаковым знаком.
   Рассмотрим более общий случай, когда число частиц N произволь-
но. Пронумеруем все возможные перестановки 3 координат ξi таким
образом, что четной (нечетной) перестановке соответствует четный
(нечетный) номер. Обозначим функцию, аргументы которой образу-
ют ν-ю перестановку координат ξi , как P̂ν Ψ(ξ1 , . . . , ξN ). В этом случае
симметричную (антисимметричную) волновую функцию можно пред-
ставить в виде:
                                                   X
                    Ψs (ξ1 , . . . , ξN ) = Cs           P̂ν Ψ(ξ1 , . . . , ξN ),        (2.8)
                                                     ν
                                              X
                Ψa (ξ1 , . . . , ξN ) = Ca         (−1)ν P̂ν Ψ(ξ1 , . . . , ξN ).        (2.9)
                                               ν


Действительно, при действии оператором P̂j,k четная перестановка пе-
реходит в нечетную и обратно, тогда как из (2.8) и (2.9) следует, что
функция Ψs (Ψa ) не меняет (меняет) знак. Нормировочные множители
Ca , Cs полностью определяются структурой функции Ψ(ξ1 , . . . , ξN ).
    Если гамильтониан не действует на спиновые переменные, то волно-
вая функция факторизуется на пространственную (Φ) и спиновую (S)
функцию:

                Ψs (ξ1 , . . . , ξN ) = Φ(r 1 , . . . , r N )S(sz1 , . . . , szN ).     (2.10)

В этом случае функции Φ и χ симметризуются (антисимметризуются)
так, чтобы полная функция Ψ имела требуемую симметрию. В частно-
сти, антисимметричную функцию Ψ можно получить двумя способами:

               Ψa (ξ1 , . . . , ξN ) = Φs (r 1 , . . . , r N )Sa (sz1 , . . . , szN )   (2.11)

или
              Ψa (ξ1 , . . . , ξN ) = Φa (r 1 , . . . , r N )Ss (sz1 , . . . , szN ).   (2.12)
Функции Φa ,Φs и Sa ,Ss получаются из Φ и χ по формулам, аналогич-
ным (2.8), (2.9). Нетрудно найти структуру и для симметричной функ-
ции Ψs (выполнить самостоятельно!)
  3   Напомним, что число всех возможных перестановок равно N !.




                                                33

Страницы