Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Ψ
a
(ξ
1
, . . . , ξ
N
) =
1
√
N!
ϕ
α
1
(ξ
1
) ϕ
α
1
(ξ
2
) . . . ϕ
α
1
(ξ
N
)
ϕ
α
2
(ξ
1
) ϕ
α
2
(ξ
2
) . . . ϕ
α
2
(ξ
N
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ϕ
α
N
(ξ
1
) ϕ
α
N
(ξ
2
) . . . ϕ
α
N
(ξ
N
)
. (2.19)
Из анализа (2.19) следует принцип Паули: в системе тождественных
фермионов в каждом одночастичном состоянии может находиться
не более одной частицы. Действительно, если, например, α
1
= α
2
, то
в (2.19) возникают две одинаковые строки и волновая функция тожде-
ственно обращается нуль.
Симметричная волновая функция получается из (2.16) с помощью
(2.8):
Ψ
s
(ξ
1
, . . . , ξ
N
) =
r
N
1
!N
2
! . . . N
N
!
N!
X
ν
ˆ
P
ν
ϕ
1
(ξ
1
) . . . ϕ
N
(ξ
N
). (2.20)
В системе тождественных бозонов отсутствует ограничение на чис-
ло частиц N
i
в заданном одночастичном состоянии ϕ
α
i
(ξ
α
i
), т. е.
0 6 N
i
6 N. Сумма в правой части (2.20) иногда называется перманен-
том, который отличается от детерминанта в (2.19) заменой всех «−»
на «+».
Если взаимодействием между частицами прене-
-
m
m
Рис. 2.1.
бречь нельзя, т. е. гамильтониан нельзя представить
в виде (2.13), то в этом случае понятие одночастич-
ного состояния ввести нельзя, а многочастичную вол-
новую функцию нужно искать из уравнения (2.15).
В этом случае можно говорить лишь о состоянии си-
стемы в целом. Тем не менее, перестановочная сим-
метрия по-прежнему будет сохраняться. В частно-
сти, принцип Паули для таких систем формулируется
как требование антисимметрии волновой функции Ψ
a
по отношению к перестановке любой пары координат (пространствен-
ных и спиновых).
2.4. Теория атома гелия и гелиеподобных ионов
Атом гелия (He), второй атом периодической системы, является наи-
более простым из многоэлектронных атомов. Однако уже на нем, в
отличие от водорода, классическая механика потерпела полный крах.
35
                                           ϕα1 (ξ1 )        ϕα1 (ξ2 )       ...      ϕα1 (ξN )
                             1   ϕα2 (ξ1 ) ϕα2 (ξ2 ) . . . ϕα2 (ξN )
    Ψa (ξ1 , . . . , ξN ) = √                                                                        .   (2.19)
                              N! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                                          ϕαN (ξ1 ) ϕαN (ξ2 )               ...     ϕαN (ξN )

Из анализа (2.19) следует принцип Паули: в системе тождественных
фермионов в каждом одночастичном состоянии может находиться
не более одной частицы. Действительно, если, например, α1 = α2 , то
в (2.19) возникают две одинаковые строки и волновая функция тожде-
ственно обращается нуль.
    Симметричная волновая функция получается из (2.16) с помощью
(2.8):
                             r
                               N1 !N2 ! . . . NN ! X
     Ψs (ξ1 , . . . , ξN ) =                         P̂ν ϕ1 (ξ1 ) . . . ϕN (ξN ). (2.20)
                                     N!            ν

В системе тождественных бозонов отсутствует ограничение на чис-
ло частиц Ni в заданном одночастичном состоянии ϕαi (ξαi ), т. е.
0 6 Ni 6 N . Сумма в правой части (2.20) иногда называется перманен-
том, который отличается от детерминанта в (2.19) заменой всех «−»
на «+».
   Если взаимодействием между частицами прене-
бречь нельзя, т. е. гамильтониан нельзя представить      m
                                                                   m
в виде (2.13), то в этом случае понятие одночастич-
ного состояния ввести нельзя, а многочастичную вол-
новую функцию нужно искать из уравнения (2.15).
В этом случае можно говорить лишь о состоянии си-
стемы в целом. Тем не менее, перестановочная сим-
метрия по-прежнему будет сохраняться. В частно-            -
сти, принцип Паули для таких систем формулируется
                                                         Рис. 2.1.
как требование антисимметрии волновой функции Ψa
по отношению к перестановке любой пары координат (пространствен-
ных и спиновых).

2.4.     Теория атома гелия и гелиеподобных ионов
   Атом гелия (He), второй атом периодической системы, является наи-
более простым из многоэлектронных атомов. Однако уже на нем, в
отличие от водорода, классическая механика потерпела полный крах.


                                                       35

Страницы