Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

по отношению к одновременной перестановке пространственных (r
1
,r
2
)
и спиновых (s
1z
,s
2z
) координат электронов:
Ψ(r
1
, s
1z
; r
2
, s
2z
) = −Ψ(r
2
, s
2z
; r
1
, s
1z
). (2.25)
Выполнение такого соотношения можно обеспечить двумя возможными
способами:
Ψ(r
1
, s
1z
; r
2
, s
2z
) = Φ
±
(r
1
, r
2
)S
∓
(s
1z
, s
2z
), (2.26)
где знак «+» означает симметрию, а «−» — антисимметрию функции
относительно перестановки 1 2.
Двухэлектронную спиновую функцию S
±
(s
1z
, s
2z
) можно предста-
вить в виде произведения двух одночастичных спиновых функций
χ
±
(s
z
) ≡ χ
m
s
(s
z
), где m
s
= ±
1
2
— квантовое число, связанное с проек-
цией спина ±
1
2
} на выделенное направление, а s
z
— спиновая перемен-
ная. Но обычное произведение вида χ
m
1s
(s
1z
)χ
m
2s
(s
2z
) в общем случае
не обладает требуемой перестановочной симметрией относительно спи-
новых переменных s
1z
и s
2z
, поэтому из таких произведений необходимо
составить правильно симметризованные комбинации.
Антисимметричная относительно перестановки s
1z
s
2z
комби-
нация составляется единственно возможным способом (см.(2.19)):
S
−
(s
1z
, s
2z
) =
1
√
2
[χ
+
(s
1z
)χ
−
(s
2z
) − χ
+
(s
2z
)χ
−
(s
1z
)] . (2.27)
На основе векторной модели сложения спинов s
1
и s
2
можно показать,
что функция (2.27) задает состояние с антипараллельными спинами и
нулевым полным спином (рис. 2.2.). В самом деле,
(
ˆ
s
1
+
ˆ
s
2
)
2
S
−
(s
1z
, s
2z
) = 0; (ˆs
1z
+ ˆs
2z
)S
−
(s
1z
, s
2z
) = 0.
Если связать с квадратом полного спина S = s
1
+ s
2
квантовое число
S = 0, 1 ((S
2
)
S
= }
2
S(S + 1)), а с его проекцией — квантовое чис-
ло M
S
= −S, −S + 1, . . . , S ((S
z
)
M
S
= }M
S
), то в случае парагелия
S = M
S
= 0. Поэтому состояния парагелия синглетны, то есть соот-
ветствуют одной наблюдаемой проекции спина: S
z
= 0. (Отметим, что
атом гелия в состояниях с полным спином равным нулю часто называ-
ют парагелием).
Симметричная спиновая функция представляется тремя возмож-
ными комбинациями (см.(2.20)):
S
+,±1
(s
1z
, s
2z
) = χ
±
(s
1z
)χ
±
(s
2z
), (2.28)
S
+,0
(s
1z
, s
2z
) =
1
√
2
[χ
+
(s
1z
)χ
−
(s
2z
) + χ
+
(s
2z
)χ
−
(s
1z
)] . (2.29)
37
по отношению к одновременной перестановке пространственных (r 1 ,r 2 )
и спиновых (s1z ,s2z ) координат электронов:

                   Ψ(r 1 , s1z ; r 2 , s2z ) = −Ψ(r 2 , s2z ; r 1 , s1z ).          (2.25)

Выполнение такого соотношения можно обеспечить двумя возможными
способами:

                 Ψ(r 1 , s1z ; r 2 , s2z ) = Φ± (r 1 , r 2 )S∓ (s1z , s2z ),        (2.26)

где знак «+» означает симметрию, а «−» — антисимметрию функции
относительно перестановки 1  2.
    Двухэлектронную спиновую функцию S± (s1z , s2z ) можно предста-
вить в виде произведения двух одночастичных спиновых функций
χ± (sz ) ≡ χms (sz ), где ms = ± 12 — квантовое число, связанное с проек-
цией спина ± 21 } на выделенное направление, а sz — спиновая перемен-
ная. Но обычное произведение вида χm1s (s1z )χm2s (s2z ) в общем случае
не обладает требуемой перестановочной симметрией относительно спи-
новых переменных s1z и s2z , поэтому из таких произведений необходимо
составить правильно симметризованные комбинации.
    Антисимметричная относительно перестановки s1z  s2z комби-
нация составляется единственно возможным способом (см.(2.19)):
                         1
      S− (s1z , s2z ) = √ [χ+ (s1z )χ− (s2z ) − χ+ (s2z )χ− (s1z )] .               (2.27)
                          2
На основе векторной модели сложения спинов s1 и s2 можно показать,
что функция (2.27) задает состояние с антипараллельными спинами и
нулевым полным спином (рис. 2.2.). В самом деле,

         (ŝ1 + ŝ2 )2 S− (s1z , s2z ) = 0;    (ŝ1z + ŝ2z )S− (s1z , s2z ) = 0.

Если связать с квадратом полного спина S = s1 + s2 квантовое число
S = 0, 1 ((S 2 )S = }2 S(S + 1)), а с его проекцией — квантовое чис-
ло MS = −S, −S + 1, . . . , S ((Sz )MS = }MS ), то в случае парагелия
S = MS = 0. Поэтому состояния парагелия синглетны, то есть соот-
ветствуют одной наблюдаемой проекции спина: Sz = 0. (Отметим, что
атом гелия в состояниях с полным спином равным нулю часто называ-
ют парагелием).
   Симметричная спиновая функция представляется тремя возмож-
ными комбинациями (см.(2.20)):

     S+,±1 (s1z , s2z ) = χ± (s1z )χ± (s2z ),                                       (2.28)
                           1
      S+,0 (s1z , s2z ) = √ [χ+ (s1z )χ− (s2z ) + χ+ (s2z )χ− (s1z )] .             (2.29)
                            2

                                              37

Страницы