Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Попытки рассчитать его энергию классическими методами (с учетом
квантовых постулатов Бора) привели к выводу о невозможности приме-
нения классической механики к атомным системам с двумя и б´ольшим
числом электронов. Современная же квантовая теория не встречает
принципиальных трудностей в исследовании таких объектов. Вычис-
лительные трудности весьма значительны, что не позволяет получить
наблюдаемые характеристики атома гелия в замкнутой аналитической
форме, не говоря уже о более сложных атомах. Поэтому в настоящей
лекции будут развиты некоторые приближенные методы исследования
реальных двухэлектронных систем и с их помощью получена струк-
тура энергетического спектра не только в атоме гелия (с зарядовым
числом ядра Z = 2), но и в двухэлектронных гелиеподобных ионах :
Li
+
(Z = 3), Be
2+
(Z = 4) и др.
2.4.1. Гамильтониан и волновые функции
Рассмотрим гелиеподобный ион с зарядом ядра Z|e|. Пренебрегая
взаимодействиями, связанными со спином частиц, оператор Гамильто-
на имеет вид:
ˆ
H =
ˆ
H
(0)
1
+
ˆ
H
(0)
2
+
ˆ
V , (2.21)
где
ˆ
H
(0)
i
= −
}
2
2m
∇
2
i
−
Ze
2
r
i
,
m — масса электрона, r
i
— радиус-вектор i-го электрона (рис. 2.1),
отсчитываемый от силового центра (точечного ядра). Слагаемое
ˆ
V в
(2.21) соответствует кулоновскому отталкиванию электронов:
ˆ
V =
e
2
|r
1
− r
2
|
=
e
2
r
12
. (2.22)
Будем искать решения стационарного уравнения Шредингера
ˆ
HΨ = EΨ (2.23)
с гамильтонианом (2.21).
Поскольку гамильтониан (2.21) не действует на спиновые перемен-
ные электронов, волновую функцию можно представить в виде произ-
ведения пространственной и спиновой функций (см. (2.10)):
Ψ(r
1
, s
1z
; r
2
, s
2z
) = Φ(r
1
, r
2
)S(s
1z
, s
2z
). (2.24)
В соответствии с принципом тождественности и принципом Паули,
двухчастичная волновая функция Ψ должна быть антисимметричной
36
Попытки рассчитать его энергию классическими методами (с учетом
квантовых постулатов Бора) привели к выводу о невозможности приме-
нения классической механики к атомным системам с двумя и бо́льшим
числом электронов. Современная же квантовая теория не встречает
принципиальных трудностей в исследовании таких объектов. Вычис-
лительные трудности весьма значительны, что не позволяет получить
наблюдаемые характеристики атома гелия в замкнутой аналитической
форме, не говоря уже о более сложных атомах. Поэтому в настоящей
лекции будут развиты некоторые приближенные методы исследования
реальных двухэлектронных систем и с их помощью получена струк-
тура энергетического спектра не только в атоме гелия (с зарядовым
числом ядра Z = 2), но и в двухэлектронных гелиеподобных ионах :
Li+ (Z = 3), Be2+ (Z = 4) и др.

2.4.1.   Гамильтониан и волновые функции
   Рассмотрим гелиеподобный ион с зарядом ядра Z|e|. Пренебрегая
взаимодействиями, связанными со спином частиц, оператор Гамильто-
на имеет вид:
                              (0)   (0)
                       Ĥ = Ĥ1 + Ĥ2 + V̂ ,                (2.21)
где
                            (0)      }2 2 Ze2
                          Ĥi     =−   ∇ −    ,
                                     2m i  ri
m — масса электрона, r i — радиус-вектор i-го электрона (рис. 2.1),
отсчитываемый от силового центра (точечного ядра). Слагаемое V̂ в
(2.21) соответствует кулоновскому отталкиванию электронов:

                                      e2        e2
                            V̂ =              =     .                    (2.22)
                                 |r 1 − r 2 |   r12
Будем искать решения стационарного уравнения Шредингера

                                   ĤΨ = EΨ                              (2.23)

с гамильтонианом (2.21).
    Поскольку гамильтониан (2.21) не действует на спиновые перемен-
ные электронов, волновую функцию можно представить в виде произ-
ведения пространственной и спиновой функций (см. (2.10)):

               Ψ(r 1 , s1z ; r 2 , s2z ) = Φ(r 1 , r 2 )S(s1z , s2z ).   (2.24)

   В соответствии с принципом тождественности и принципом Паули,
двухчастичная волновая функция Ψ должна быть антисимметричной

                                        36

Страницы