Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

2.3. Системы невзаимодействующих тождествен-
ных частиц. Принцип Паули
Рассмотрим систему N невзаимодействующих частиц (электронов).
В этом случае гамильтониан системы можно представить в виде:
ˆ
H =
N
X
i=1
ˆ
h(ξ
i
), (2.13)
где
ˆ
h(ξ
i
) — гамильтониан i-й частицы, ξ
i
— ее координата. Ниже ограни-
чимся стационарным случаем. Будем полагать, что собственные функ-
ции и собственные значения гамильтониана
ˆ
h известны. Тогда, для i-й
частицы имеем:
ˆ
h(ξ
i
)ϕ
α
i
(ξ
i
) = ε
i
ϕ
α
i
(ξ
i
), (2.14)
где α
i
— полный набор квантовых чисел, характеризующих состоя-
ние ϕ
α
i
(например, n, l, m
l
, m
s
или n, l, j, m
j
); одночастичные волновые
функции ϕ
α
i
(ξ
i
), как принято в случае связанного состояния, нормиро-
ваны на единицу. Тогда решение стационарного уравнения Шредингера
ˆ
HΨ(ξ
1
, . . . , ξ
N
) = EΨ(ξ
1
, . . . , ξ
N
) (2.15)
с гамильтонианом (2.13) можно представить в виде произведения од-
ночастичных функций ϕ
α
i
(ξ
i
) (см. (2.14)):
Ψ(ξ
1
, . . . , ξ
N
) = ϕ
α
1
(ξ
1
) . . . ϕ
α
N
(ξ
N
). (2.16)
Тогда энергия полной системы E определяется суммой энергий одно-
частичных состояний ε
i
:
E =
N
X
i=1
ε
i
. (2.17)
Решение (2.16) не обладает какой-либо симметрией по отношению к
перестановкам координат ξ
i
, в этом случае требуется дополнительная
симметризация волновой функции. В соответствии с (2.9), антисиммет-
ричная волновая функция имеет вид:
Ψ
a
(ξ
1
, . . . , ξ
N
) =
1
√
N!
X
ν
(−1)
ν
ˆ
P
ν
ϕ
α
1
(ξ
1
) . . . ϕ
α
N
(ξ
N
), (2.18)
что также эквивалентно детерминанту Слэтера
4
:
4
Нормировочный множитель в (2.19) можно вычислить по формулам комбина-
торики. Действительно, N занятых фермионных состояний можно перенумеровать
N! различными способами.
34
2.3.    Системы невзаимодействующих тождествен-
        ных частиц. Принцип Паули
   Рассмотрим систему N невзаимодействующих частиц (электронов).
В этом случае гамильтониан системы можно представить в виде:
                                          N
                                          X
                                   Ĥ =         ĥ(ξi ),                    (2.13)
                                          i=1

где ĥ(ξi ) — гамильтониан i-й частицы, ξi — ее координата. Ниже ограни-
чимся стационарным случаем. Будем полагать, что собственные функ-
ции и собственные значения гамильтониана ĥ известны. Тогда, для i-й
частицы имеем:
                         ĥ(ξi )ϕαi (ξi ) = εi ϕαi (ξi ),          (2.14)
где αi — полный набор квантовых чисел, характеризующих состоя-
ние ϕαi (например, n, l, ml , ms или n, l, j, mj ); одночастичные волновые
функции ϕαi (ξi ), как принято в случае связанного состояния, нормиро-
ваны на единицу. Тогда решение стационарного уравнения Шредингера

                       ĤΨ(ξ1 , . . . , ξN ) = EΨ(ξ1 , . . . , ξN )         (2.15)

с гамильтонианом (2.13) можно представить в виде произведения од-
ночастичных функций ϕαi (ξi ) (см. (2.14)):

                     Ψ(ξ1 , . . . , ξN ) = ϕα1 (ξ1 ) . . . ϕαN (ξN ).       (2.16)

Тогда энергия полной системы E определяется суммой энергий одно-
частичных состояний εi :
                               XN
                           E=     εi .                     (2.17)
                                            i=1

   Решение (2.16) не обладает какой-либо симметрией по отношению к
перестановкам координат ξi , в этом случае требуется дополнительная
симметризация волновой функции. В соответствии с (2.9), антисиммет-
ричная волновая функция имеет вид:
                                1 X
       Ψa (ξ1 , . . . , ξN ) = √     (−1)ν P̂ν ϕα1 (ξ1 ) . . . ϕαN (ξN ),   (2.18)
                                N! ν

что также эквивалентно детерминанту Слэтера 4 :
  4  Нормировочный множитель в (2.19) можно вычислить по формулам комбина-
торики. Действительно, N занятых фермионных состояний можно перенумеровать
N ! различными способами.


                                           34

Страницы